2022-2023学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.

【详解】化为，

直线的斜率为，倾斜角为.

故选:D.

【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.

2．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，则应从丙型号产品中抽取（    ）

A．10件 B．15件 C．20件 D．30件

【答案】B

【分析】根据条件求出分层抽样的抽样比，由此可求出丙型号的产品中抽取的件数.

【详解】依题意，丙型号产品在分层抽样中的抽样比为，

所以，从丙型号的产品中抽取的件数是：.

故选：B

3．已知实数是2、8的等比中项，则（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】A

【分析】由等比中项的定义列方程求解即可.

【详解】因为实数是2、8的等比中项，

所以，得，

故选：A

4．已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到，再解不等式即可.

【详解】由题知：，，，，

.

因为和有公共点，所以，

解得.

故选：C

5．已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.

【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，

又，由抛物线的定义可知，解得，所以.

故选：A

6．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可

【详解】设等差数列的公差为，则，

因为，

所以，

因为等差数列和的前项和分别为、，满足，

所以，

所以，

故选：C

7．直线与曲线的交点个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.

【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，

联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.

联立，解得或，所以直线与有两个交点.

所以直线与曲线的交点个数为2个.

故选：B

8．已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．

【详解】不妨设，

在△中，由余弦定理知，，

因为，

则，

两式联立得，

因为，，

整理得，化简得，

所以离心率．

故选：．

二、多选题

9．树德中学举行高中数学素养测试，对80名考生的参赛成绩进行统计，得到如下图所示的频率分布直方图，则（    ）

A．成绩的极差一定大于40，不超过60

B．成绩在的考生人数为8人

C．成绩的众数一定落在区间内

D．成绩的中位数一定落在区间内

【答案】ABD

【分析】利用频率分布直方图逐个分析各个选项即可.

【详解】由频率分布直方图可知，

成绩的极差一定大于，不超过，故A正确；

成绩在的考生人数为人，故B正确；

最高频率的区间中点值估计众数，但不能说众数一定落在区间内，故C错误；

因为，，所以成绩的中位数一定落在区间内，故D正确.

故选：ABD

10．已知曲线：，则（    ）

A．上两点间距离的最大值为

B．若点在内部，则

C．若与直线有公共点，则

D．若与圆有公共点，则

【答案】BC

【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合逐一判断选项即可.

【详解】曲线的图象是由半圆和此半圆分别关于轴、轴、原点对称的图象组合而成，如图所示：

对于A，曲线上两点间距离的最大值为，

故A错误；

对于B，由得，

由得，

所以当点在内部时，有，故B正确；

对于C，由曲线的图象可知，

当直线与半圆相切时，截距最大，

则由得或（舍去），

当直线与半圆相切时，截距最小，

则由得或（舍去），

所以若与直线有公共点，则，故C正确；

对于D，曲线：与坐标轴的交点为，，

当圆过点和时，最小，最小值为2，

当圆过点时，最大，最大值为，

所以若与圆有公共点，则，故D错误.

故选：BC

11．记数列的前项和为，，，则（    ）

A．可能是常数列

B．可能是等比数列

C．可能是等差数列

D．可能既不是等差数列，也不是等比数列

【答案】BCD

【分析】根据题意求得或，且或，结合选项，利用等差、等比数列的定义及性质，逐项判定，即可求解.

【详解】因为数列的前项和为，，且，

所以，可得，解得或，

又因为，可得，

两式相减得，即，

可得或，

对于A中，因为，或，所以数列不可能为常数列，所以A不正确；

对于B中，当时，数列满足且，

即，满足，所以数列为以为首项，为公比的等比数列，所以B正确；

对于C中，当时，数列满足且，

可得满足，所以数列为以为首项，为公差的得出数列，

所以C正确；

对于D中，当时，数列满足且，

由，不满足，则数列不是等比数列，

当时，数列满足且，

由，不满足，则数列不是等差数列，

即数列可能既不是等差数列，也不是等比数列，所以D正确.

故选：BCD.

12．定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆：，其倒椭圆：，为坐标原点，为上任意点，则（    ）

A．的最小值为9

B．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．过点作轴和轴的垂线，垂足分别为、，则

D．过点作轴和轴的垂线，垂足分别为、，则直线与曲线相切

【答案】BD

【分析】A选项，设，，由基本不等式求出，A错误；B选项，画出图形，并将换成，换成，均满足，从而得到B正确；C选项，设，表达出直线的斜率为，直线的斜率为，由斜率乘积不一定为-1得到C错误；D选项，表达出直线，与曲线联立，由根的判别式作出判断.

【详解】A选项，设，其中，，

，

则，当时取等，故的最小值为3，A错误；

B选项，曲线：的图形如下：

且将换成，换成，均满足，从而可知曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，B正确；

C选项，设，则，，

直线的斜率为，

又直线的斜率为，不一定成立，故与不一定垂直，C错误；

D选项，直线的方程为，其中

联立，

则

，

则直线与曲线相切，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．为了研究某产品的质量，现随机抽取个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图，则该样本质量的分位数为       .

【答案】

【分析】设该样本质量的分位数为，可知，根据百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可.

【详解】第一个矩形的面积为，

前两个矩形的面积之和为，

设该样本质量的分位数为，因为，则，

由百分位数的定义可得，解得.

故该样本质量的分位数为.

故答案为：.

14．将数列和的公共项从小到大排列得到一个新的数列，则数列的前项和为       .

【答案】

【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以2首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为.

故答案为：.

15．已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为       .

【答案】

【分析】设，由中点公式列出方程组，求得，进而求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】因为直线与直线和的交点分别为，

设，

因为点是线段的中点，由中点公式可得，

解得，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

16．已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为       .

【答案】

【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理可得，求出的范围则可求得离心率的取值范围.

【详解】过点且与直线垂直的直线为，

两直线的交点，从而点.

点在椭圆上，

则，即

则.

由于，则，，

故答案为：

四、解答题

17．已知圆经过点、，圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出直线的中垂线方程联立直线方程即可得圆心坐标，进而可求半径，即可求出圆的方程；

（2）由可得点到直线的距离为1，由点到直线的距离公式即可列方程求解.

【详解】（1）的中点为，斜率，

则直线的中垂线为

联立，解得，

即，

圆的方程为.

（2）由于，点到直线的距离，

即，解得

18．某工厂现有甲、乙两条生产线，可生产同一型号的产品.为了提高生产线的稳定性和产品的质量，计划对其中一条生产线进行技术升级.为此，让甲、乙两条生产线各生产8天（每天生产的时间、产品总数均相同），两条生产线每天生产的次品数分别为：

(1)分别计算这两组数据的平均数和方差；

(2)请依据所学统计知识，结合（1）中的数据，给出升级哪条生产线的建议，并说明你的理由.

【答案】(1)，；，

(2)选择乙生产线进行升级，理由见解析

【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求解；

（2）根据平均数和方差的实际意义判断．

【详解】（1）设甲组数据的平均数和方差为、，乙组数据的平均数和方差为、.

，；

，

（2）由于，甲生产线生产的次品平均数少于乙生产线生产的次品平均数；

又，甲生产线较乙生产线生产的产品质量更稳定.

综上，选择乙生产线进行升级.

19．已知等差数列满足，数列是等比数列，数列的前项和，

(1)求数列和的通项；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意求得，结合等差、等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比的值，即可求解；

（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由数列的前项和，

当时，可得

可得， 因为，所以

则，解得或，

当时，可得，；

当时，可得，，

此时当时，，可得，不符合题意，（舍去）；

即数列和的通项，.

（2）解：由（1）得，

可得，

则

两式相减得，

所以.

20．已知、是抛物线：上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点

(1)证明：轴：

(2)若点的坐标为，求的面积.

注：抛物线在点处的切线方程为.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设出点和的坐标，可得切线、的方程，联立、的方程可得，问题得证；

（2）由轴，得，计算即可得结果.

【详解】（1）设，，则中点，

直线：，：，

，解得，

即，从而轴.

（2）由（1）可解得，则，即

由于轴，则

，

即的面积为.

21．已知数列满足，.证明：

(1)；

(2)

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由由于，再由时，，即可证得.

（2）由，得到，即可得证.

【详解】（1）证明：由于，

当时，，则，

所以.

（2）证明：由于，可得，且，

又由，可得当时，，

则

，

所以.

22．已知双曲线的两个焦点坐标分别为、，的一条渐近线经过点..

(1)求双曲线的方程；

(2)若为的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为.证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；

（2）分析可知直线、均不与轴重合，设直线的方程为，直线的方程为，将直线的方程与圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，将直线的方程与圆的方程联立，求出点的纵坐标，同理可得出点的纵坐标，由已知可得，可得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.

【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，

又因为双曲线的一条渐近线过点，则，

由题意可得，解得，

因此，双曲线的方程为.

（2）证明：因为过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，

则直线、均不与轴重合，

设直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，

因为，解得，则，

即点，同理可得点，

由于直线与双曲线有两个交点，则，

联立可得，

因为，解得，同理可得，其中.

由于、两点关于原点对称，则.

化简可得，即或，

由于、两点在轴同侧，且，，

则不符合题意，所以，，

又直线斜率，

则直线的方程为，

直线经过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.