2022-2023学年陕西师范大学附属中学高二上学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西师范大学附属中学高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．命题“存在”的否定是（    ）

A．不存在 B．存在

C．对任意的 D．对任意的

【答案】D

【分析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】∵“”的否定为“”，

∴“存在”的否定为“对任意的”，

故选：D．

2．数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解．

【详解】由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9，

由等差数列的通项公式可得.

故选：B

3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得，由椭圆定义求得，由b2＝a2－c2，求得，即可得出结果.

【详解】解：∵椭圆的焦点在y轴上，

∴可设它的标准方程为．

∵

∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，

故所求的椭圆的标准方程为．

故选：B．

4．在中，，则（　　）

A．30° B．60° C．60°或 120° D．30°或 150°

【答案】D

【分析】利用三角形的面积计算公式和特殊角的三角函数值即可得出．

【详解】解：由可得：

，

解得．

又为三角形内角，

或，

故选．

【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握公式和特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题．

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为，解得.

故选：A

6．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】B

【分析】设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，由抛物线的定义可得，由几何关系可得，易得，即可求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，即可求得故，根据抛物线的性质即可求出结果.

【详解】设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，

则，

那么，易得，

于是直线AB的方程为，

代入，得，故，

所以．故选B．

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为、,则有如下结论：(1) ;(2)，.

7．已知实数，，满足约束条件，若的最大值为

A．-6 B．-4 C．2 D．3

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最大值．

【详解】解：由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分）,平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，解得．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝2，即目标函数z＝﹣2x+y的最大值为2．

故选C．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．

8．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把分式不等式转化为整式不等式求解．

【详解】原不等式可化为，解得．故解集为

故选：B．

【点睛】易错点点睛：分式不等式转化为整式不等式求解要注意分式的分母不为0．

9．已知三个内角、、的对边分别是，若则的面积等于(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角的面积公式求解.

【详解】，故选.

【点睛】本题考查三角形的面积计算.三角形有两个面积公式：和，选择合适的进行计算.

10．.在等比数列{an}中，a5=3，则a2·a8=（    ）

A．3 B．6 C．8 D．9

【答案】D

【分析】利用等比数列的等比中项的特性可得a2·a8=，从而求出结果.

【详解】a2·a8==32=9.

故选：D

11．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　）

A． B． C．2 D．-

【答案】A

【分析】由条件，可得，又可得答案.

【详解】等差数列中，，则

，所以，则

故选：A

12．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则的最小值是(　　)

A．  B．1 C．4 D．8

【答案】C

【分析】先将对数式化指数式，再根据基本不等式即可求出．

【详解】由得，所以

，

当且仅当时取等号，故的最小值是．

故选：C．

【点睛】本题主要考查对数的性质以及基本不等式中“1的代换”的应用，属于基础题．

二、填空题

13．在中，，，，则         ．

【答案】

【详解】由正弦定理，得，即，所以，所以.

【解析】正弦定理.

14．在中，“”是“”的        条件.

【答案】充要

【分析】由正弦定理可知，与是等价的.

【详解】在中，由正弦定理及可得，即；

反之，若，则，所以.

故答案为：充要.

15．已知中，，，，则面积为     

【答案】

【分析】由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，结合A，B的范围，可求﹣π＜A﹣B＜π，进而求得A﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解．

【详解】∵acosB=bcosA，

∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0，

∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B＜π，

∴A﹣B=0，可得：a=b=1，

∴cosA===，可得：sinA=，

∴S△ABC=bcsinA==．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，则an=    .

【答案】

【分析】当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1，从而求解

【详解】解:当n=1时，a1=S1=3;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.

此时，当n=1时，2n=2≠3.

所以an=

故答案为：

【点睛】本题考查数列与的关系，要注意成立的条件.

三、解答题

17．解不等式组

【答案】

【分析】将 转化为 ，不等式则转化为 或.

【详解】解：由题意 等价 或，即或，故原不等式组等价于 ,

综上.

【点睛】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，难易程度适中.

18．解不等式:   

【答案】

【分析】移项、通分后转化化成一元二次不等式求解．

【详解】原不等式变形为，

所以，

等价于

解得或.

∴原不等式的解集为．

【点睛】简单的分式不等式可以利用等价转化的方法，转化为一元二次不等式求解，解题时注意转化的等价性，避免出现符号上的错误．

19．求不等式的解集.

【答案】

【分析】先将不等式化为，进而可求出结果.

【详解】由得，

即，

解得或，

即原不等式的解集为.

【点睛】本题主要考查指数形式的不等式求解，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.

20．（1）点A(-2,4)在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；

（2）已知双曲线经过点，它渐近线方程为，求双曲线的标准方程.

【答案】（1）或（2）

【分析】（1）由抛物线的图像过第二象限，则可设抛物线方程为①或②，再将点A(-2,4)代入运算即可；

（2）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为，再将点代入运算即可得解.

【详解】（1）点A(-2,4)在第二象限，则抛物线的图像过第二象限，

则可设抛物线方程为①或②，

将点A(-2,4)代入①解得，

将点A(-2,4)代入②解得，

所以抛物线的方程为或，

(2)由双曲线渐近线方程为，

设双曲线的方程为，

又双曲线经过点，

将点（1，1）带入可得

故双曲线C的标准方程为：.

【点睛】本题考查了抛物线方程的求法及双曲线方程的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.

21．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．

【答案】解（I）（II）

【详解】分析：（1）由题可得，然后根据a,b,c的关系即可得达到b，从而得出方程；（2）先设出过焦点的直线，然后联立方程得出韦达定理，而，故几何韦达定理即可得出有关k的不等式，解不等式即得出结论.

详解：（I）由已知，；,

故椭圆C的方程为

（II）设

则A、B坐标是方程组的解．

消去，则

，

所以k的取值范围是

点睛：解本题要熟悉椭圆的定义和基本性质，对于第二问则比较直接，思路顺畅，直接借助韦达定理即可，此题属于基础题.

22．已知抛物线的焦点为，直线斜率为1，直线与抛物线交于､两点，与轴交于点.

（1）若，求直线方程；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合题意，求得，求得，即可求得直线的方程；

（2）由，得到和，再根据，求得分别代入上式，求得，结合弦长公式，即可求解.

【详解】（1）由题意，直线斜率为1，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，则

又由，可得，所以，

即，解得，所以直线方程为.

（2）由，消得，即，

则，①  ②

又由，可得，

可得代入①式，可得，

再代入②得，即，，

所以.

23．已知是不全相等的三个正数，求证：

【答案】证明见详解

【解析】利用已知条件可得不全相等，利用基本不等式可得，，，三个不等式的等号不能同时成立，则三式相加得，整理即可证明结论.

【详解】∵ 是不全相等的三个正数，

∴ 不全相等，

∴ ，，，

故三个不等式的等号不能同时成立，

则三式相加得，，

∴ ，

即.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式的问题.属于较易题.

24．已知是等比数列，是等差数列，且，，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由等比数列、等差数列通项公式根据题意列出方程，求出和，即可；

（2）由（1）得，利用裂项相消法求和即可．

【详解】解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，

依题意有，即

解得或（舍去）．

所以，；

（2）由（1）的，

所以

.

25．已知的内角，，的对边分别为，，，向量

（1）当时，求的值；

（2）当时，且，求的值．

【答案】（1）1；（2）2．

【分析】（1）由题意得，即，由正弦定理有：，联立即可得解的值．

（2）由平行条件得，由，则可得，联立即可得解．

【详解】解：（1）由题意得：，

即得，

在三角形中由正弦定理有：，

由以上两式可知：．

（2）由平行条件得，

，

则可得到：，

．

26．如图，已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A，B，C，D，设.

(1)求的解析式；

(2)求的最大值和最小值.

【答案】(1) ，

(2)最大值为；最小值为.

【分析】（1）先根据椭圆方程得到焦点坐标，进而可得直线的方程，结合椭圆方程和其准线方程及弦长公式可表示出；

（2）根据的解析式，结合其单调性和的范围即可求出最大值和最小值.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，则，，所以直线的方程为，

由题意，椭圆的准线方程为，故，，

由得，

，因，所以恒成立，

此时，又直线的斜率，

所以

又，，

所以，.

（2），又，由题意知，

∴，

故时，取得最大值，

时，取得最小值.