人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形复习练习题

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2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
专题02 等腰三角形

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等
腰
三
角
形

等边对等角
题型1
三线合一
题型2
等角对等边
题型3
等腰三角形的性质和判定
题型4




题型变式

【题型1】等边对等角
1．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图，已知直线m∥n，在△ABC中，AB=AC且∠BAC=90°，∠1=15°，则∠2的度数是（    ）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】作直线CEm，根据平行线的性质即可得到∠BCE的度数，再根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：作直线CEm，

∵AB=AC且∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵直线mn，
∴直线CEmn，
∴∠ACE=∠1=15°，∠BCE=∠3，
∵∠2=∠3，∠BCA=45°，
∴∠ACE+∠BCE=45°，
∴∠2=45°-15°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则_________．

【答案】4
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，CE＝BD，进而得到结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°−∠B−∠ADB，∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

【题型2】三线合一
1．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（    ）

A． B．
C． D．点O是AB的中点
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，CD=CD，
∴A、可以利用边边边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
B、可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
C、不能判定△ACD与△BCD全等，故本选项符合题意；
D、因为点O是AB的中点，所以，可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，∠B=20°，则∠CAD的度数为______．

【答案】70°##70度
【分析】根据等腰三角形的性质证得∠C=∠B=20°，∠ADC=90°，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
【详解】解：在△ABC中，∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∠B=20°，
∴∠C=∠B=20°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-20°=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟知等腰三角形的性质，重点掌握“三线合一”性质是解答的关键．

【题型3】等角对等边
1．（2022·陕西渭南·八年级期中）下列条件能判定为等腰三角形的是（    ）
A．， B．，，
C．， D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理结合等腰三角形的判定对A、C、D进行判断；根据等腰三角形的定义对B进行判断．
【详解】解：A、当∠A＝30°，∠B＝60°时，∠C＝90°，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；
B、AB≠AC≠BC，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；
C、当A＝50°，∠B＝80°时，∠C＝50°，△ABC是等腰三角形，符合题意
D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，三个内角互不相等，△ABC不是等腰三角形，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理以及等角对等边．

【变式3-1】
2．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个．

【答案】3
【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解．
【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
故图中共3个等腰三角形，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键．

【题型4】等腰三角形的性质和判定
1．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据高和角的关系得，根据得，根据等边对等角的性质得AD=BD，然后利用ASA即可得，即可得CD的长度，再求出AD的长度，即可得．
【详解】解：∵AD、BE是三角形的高，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=BD，
在和中，

∴（ASA），
∴CD=FD，
∵，，
∴,

∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．

【变式4-1】
2．（2022·安徽宿州·七年级期末）如图，中，，，垂直平分交于，则_________.

【答案】30
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由线段垂直平分线的性质得到AE=CE，从而求出∠ECA的度数，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECA=∠A=40°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=30°，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．


专项训练

一．选择题
1．（2020·山东济宁·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（   ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
2．（2020·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.
【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B=70°，
故选D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.
3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
4．（2019·山东青岛·中考真题）如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD  ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（      ）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（2019·安徽·利辛县阚疃金石中学八年级期中）等腰三角形两边长为3,6，则第三边的长是（  ）
A．3 B．6 C． D．3或6
【答案】B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】由等腰三角形的概念，得
第三边的长可能为3或6，
当第三边是3时，而3+3=6，所以应舍去；
则第三边长为6．
故选B．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系解题关键在于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
6．（2021·贵州黔东南·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数．
【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，

∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键．

二、填空题
7．（2020·全国·八年级课时练习）（1）等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为________．
（2）已知的周长为24，，于点D，若的周长为20，则AD的长为________．
（3）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是________．
【答案】     4cm或8cm     8    
【分析】（1）根据题意画出图形，由题意得 ，即可得 ，又由等腰三角形的底边长为6cm，即可求得答案．
（2）由△ABC的周长为24得到AB，BC的关系，由△ABD的周长为20得到AB，BD，AD的关系，再由等腰三角形的性质知，BC为BD的2倍，故可解出AD的值．
（3）设底边长为y，再由三角形的三边关系即可得出答案．
【详解】（1）如图， ，BD是中线
由题意得存在两种情况：①②
①，
∵
∴
②，
∵
∴
∴腰长为：4cm或8cm
故答案为：4cm或8cm．

（2）∵△ABC的周长为24，
∴
∵
∴
∴
∴
∵的周长为20
∴
∴
故答案为：8．
（3）设底边长为y
∵等腰三角形的周长为24，腰长为x
∴
∴ ，即
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质、三角形的周长定义、三角形的三边关系是解题的关键．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
9．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．

【答案】##50度
【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝____．

【答案】2
【分析】由矩形的性质及角平分线的性质解得，，即可证明是等腰直角三角形，从而解得，最后在中利用勾股定理解题即可．
【详解】在矩形ABCD中，


平分


是等腰直角三角形


中

故答案为：2．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．

【答案】
【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接

∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．

【答案】100
【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．

三、解答题
13．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=75°，AD⊥BC，∠C=∠CAD，求∠C，∠BAC的度数．

【答案】∠C=45°；∠BAC=60°．
【分析】在Rt△ACD中，利用两锐角互余以及等腰三角形的性质求得∠C=45°，在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠BAC=60°．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ACD中，∠CAD+∠C=90°，
∵∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD=45°，
∵在△ABC中，∠B=75°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C
=180°−75°−45°
=60°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
14．（2021·江苏无锡·中考真题）已知：如图，，相交于点O，，．

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）根据AAS，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）在与中，
∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴OB=OC，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．
15．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．

【答案】见解析
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
16．（2021·广东·惠州一中八年级期中）已知：如图，在中，，，点为AB的中点．
（1）如果点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，运动的时间秒．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，时，与是否全等？请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当与全等时，求点的运动速度．
（2）若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过多长时间，点与点第一次在的哪条边上相遇？此时相遇点距离点的路程是多少？

【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②点Q的运动速度是4厘米/秒；（2）经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇，此时相遇点距离B点的路程是6厘米．
【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】解：（1）①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3（厘米），
∵AB=12，D为AB中点，
∴BD=6（厘米），
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米），
∴PC=BD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
②∵VP≠VQ，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间t===1.5（秒），
此时VQ===4（厘米/秒）；
答：点Q的运动速度是4厘米/秒；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒），
此时P运动了24×3=72（厘米），
又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇，此时相遇点距离B点的路程是6厘米．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
17．（2021·吉林长春·八年级期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
（1）在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠BCD ＝∠BDC．
（2）在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使∠EAB ＝∠EBA．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据等边对等角，在AB上取一点D使BD=BC=3，连接CD即可；
（2）线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求．
【详解】（1）如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，熟练运用等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
18．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，与都是等腰三角形，，连接AD，CE．求证：．

【答案】证明过程见解析
【分析】先证明∠ABD=∠CBE，进而得到△ABD≌△CBE即可得到∠BAD=∠BCE．
【详解】解：∵AB=BC，BD=BE，
∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED，
由三角形内角和定理可知：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC，
∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE，
由已知条件知∠BAC=∠BDE，
∴∠ABC=∠DBE，
且∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠CBE=∠DBE+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中：，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴∠BAD=∠BCE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是证明∠ABC=∠DBE进一步得到∠ABD=∠CBE．