专题6.2 角【十二大题型】-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）


专题6.2 角【十二大题型】
【苏科版】


【题型1 角的概念及角的度量】 2
【题型2 角的单位及其换算】 3
【题型3 角的计数问题】 6
【题型4 钟面上角的特征】 8
【题型5 方向角】 10
【题型6 与角平分线相关的角的运算】 13
【题型7 与角n等分线相关的角的运算】 21
【题型8 在三角板中的角的运算】 29
【题型9 余角和补角的计算】 37
【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】 41
【题型11 对顶角的识别及其性质】 44
【题型12 平行、垂直】 49


【知识点1 角的概念】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【知识点2 角的表示方法】
表示方法
A
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
B
O


ÐAOB
或ÐBOA
任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.
用一个大写字母表示
A


ÐA
以这个点为顶点的角只有一个.
用数字表示
1


Ð1
任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.
用希腊字母表示
a


Ða
【题型1 角的概念及角的度量】
【例1】（2022·甘肃兰州·七年级期末）下列说法中正确的是（    ）
A．由两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
【答案】C
【分析】根据角的定义和性质解答即可．
【详解】A.由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法不正确；
B.角的大小与角的两边长度无关，故原说法不正确；
C.角的两边是两条射线，正确；
D.用放大镜看一个角，角的度数不变，故原说法不正确；
故选C．
【点睛】本题考查角的概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．角的大小与边的长短没有关系．
【变式1-1】（2022·山东淄博·期中）∠ACB的两边分别是（    ）
A．射线AC、BC B．射线CA，CB C．线段AC，BC D．直线CA，CB
【答案】B
【分析】根据角的定义可进行求解．
【详解】解：∠ACB的两边分别是射线CA，CB，
故选B．
【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为______°．

【答案】120
【分析】根据角的定义即可得到结论．
【详解】解：看内圈的数字可得：∠AOB=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（    ）

A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
【答案】A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
【题型2 角的单位及其换算】
【例2】（2022·山东烟台·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′30″，∠3=25.35°，则（    ）
A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵∠1=25°15′，∠2=25°13′30″，∠3=25.35°=25°21'，
∴∠3>∠1>∠2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
【变式2-1】（2022·全国·七年级单元测试）下面等式成立的是（   ）
A．83.5°=83°50' B．90°−57°23＇ 27＂=32°37＇ 33＂
C．15°48'36''+37°27＇ 59＂=52°16＇ 35＂ D．41.25°=41°15＇  
【答案】D
【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.
【详解】解：A、83.5°=83°30'，故A错误；
B、90°−57°23'27''=32°36' 33''，故B错误；
C、15°48'36''+37°27＇ 59＂=53°16＇ 35＂，故C错误；
D、41.25°=41°15＇  故D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60进位制.
【变式2-2】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【答案】(1)23°34′40′′
(2)94°53′
(3)79°2′

【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
（1）
解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）
解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）
解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
【点睛】本题考查度分秒的计算，1°=60′，1′=60″，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
【变式2-3】（2022·天津南开·七年级期末）如图1是一个14的圆（∠AOB=90°），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n＞1）次可将图1等分成_____份，当n=5时，图1中的每份的角度是_____（用度，分，秒表示）

【答案】     2n，     2°48′45″
【分析】从特殊到一般，探究规律后即可解决问题．
【详解】第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分4=22份，第三次由加了四条线，将图1等分成8=23份，第四次又加了八条线，将图1等分成16=24份，第n（n＞1）次可将图1等分成2n份．
当n=5时，图1中的每份的角度是90°×125=2°48′45″．
故答案为2n，2°48′45″．
【点睛】本题考查了度分秒的换算、规律型：图形变化类等知识，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．
【题型3 角的计数问题】
【例3】（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（　　）

A．165 B．186 C．199 D．210
【答案】D
【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是12(n+1)(n+2) ，代入即可得到答案．
【详解】在锐角∠AOB内部，
画出1条射线，可以画出3个锐角；
画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；
画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；
……
∴ 从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+⋯+(n+1)=12(n+1)(n+2)
∴ 画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为12×(19+1)×(19+2)=210
故选：D．
【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律．
【变式3-1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，∠AOB=90°，则图中锐角有（　　）

A．12个 B．14个 C．15个 D．16个
【答案】B
【分析】根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，以OC为边可得4个锐角，以OD为边可得3个锐角，以OE为边可得2个锐角，以OF为边可得1个锐角，即可求得答案
【详解】解：顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，
以OC为边可得4个锐角，
以OD为边可得3个锐角，
以OE为边可得2个锐角，
以OF为边可得1个锐角，共有锐角4+4+3+2+1=14个
故选B
【点睛】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时，不要将直角算进去．
【变式3-2】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n−m的值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可．
【详解】由题意得m=7，n=8
故n−m=8−7=1
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键．
【变式3-3】（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（    ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角
【答案】B
【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可．
【详解】5个等腰直角三角形，5个直角，10个锐角，1个正方形，4个直角，1个平行四边形，2个钝角，2个锐角，
在一幅七巧板中根据12个锐角，9个直角，2个钝角．
故选择B．

【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键．
【知识点3 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型4 钟面上角的特征】
【例4】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（    ）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90° B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30° D．9时整，时针与分针的夹角是90°
【答案】D
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：A、3时30分时，时针在3与4中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是2.5大格，所以分针与时针的夹角是2.5×30=75°，故本选项错误；
B、6时30分，时针与分针的夹角等于15°，故本选项错误；
C、8时45分，时针与分针的夹角是30×14=7.5°，故本选项错误；
D、9时整，钟面上的时针与分针的夹角=3×30=90°，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
【变式4-1】（2022·河南洛阳·七年级期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（　　）度．
A．20 B．120 C．90 D．150
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
4×30°=120°，
∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
【变式4-2】（2022·山东烟台·期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时的时刻是 ______．
【答案】8点钟或4点钟
【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况．
【详解】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°，
∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有两种情况，即距时针4个格，
∴只有8点钟或4点钟是符合要求．
故答案为：8点钟或4点钟．
【点睛】本题主要考查了钟面角的有关知识．距分针成120°的角时针应该有两种情况，分类讨论的应用是解决问题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．一天24小时中，当钟面角为0°时，时针与分针重合_____次．
【答案】22
【分析】求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间，即可得出答案．
【详解】钟面上，分针转一圈即360°需要60分钟，即分针的速度是每分钟6°，时针转一圈需要12个小时，时针的速度是每分钟360∘60×12=0.5∘，
则相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是：360∘6∘−0.5∘≈65.45（分钟），
一天有24×60=1440（分钟），
则钟面角为0的次数为：144065.45≈22.0015，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了钟面角问题．求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是解答本题的关键．
【知识点4 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．

【题型5 方向角】
【例5】（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（    ）

A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根据B在A的北偏东40°方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为40°，再根据A的位置即可得到答案．
【详解】解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西40°，
故选：C．
【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（　　）

A．85° B．105° C．125° D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
【变式5-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20 km和在小岛的西南方向这两个数据来确定．问：
(1)渔船B相对小岛的位置应怎样表述？
(2)小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km处是哪艘渔船？

【答案】(1)渔船B在小岛南偏东60°方向的25 km处(2)渔船D
【分析】（1）根据渔船B和小岛的位置，距离关系即可解答.
(2）根据图像查找即可解答.
【详解】(1)根据题中给的形式可得渔船B在小岛南偏东60°方向的25 km处.
(2）根据图像可得小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km处是渔船D.
【变式5-3】（2022·重庆綦江·七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方．蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）．部队司令部在C地．C在A的北偏东60°方向上、在B的北偏东30°方向上．

(1)∠BAC=______°；
(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况．红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）．
【答案】(1)30
(2)越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千米

【分析】（1）∠BAC=90°−60°；
（2）设吉普车的速度为x千米/时，越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.7×1860x千米，根据题意列出方程并计算即可．
（1）
解：∠BAC=90°−60°=30°，
故答案为：30
（2）
解：设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.7×1860x千米，
由题意，得1.7×1860x=(2x+4)×18−360，
解得x=100，
则2x+4=204， 1860x=30 ，
答：越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千米．
【点睛】本题考查了方位角和一次方程的实际应用，设出合适未知数，找到等量关系列出方程是解题关键．


【知识点5 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

【知识点6 角的和、差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．

【知识点7 角平分线】
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．

【题型6 与角平分线相关的角的运算】
【例6】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．

(1)如图1，当OC在OB左侧，且α=80∘时，∠DOE的度数是_________；
(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α的数量关系；
(3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α的度数．
【答案】(1)85°
(2)∠DOE=45°+12α或∠DOE=45°−12α或∠DOE=12α−45°
(3)18°或162°

【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；
（2）分OC在OB左侧，OC在∠AOB内部，OC在OA下方三种情况，利用角的和差关系分别计算即可求解；
（3）将∠DOE=36°代入（2）中结论即可求解．
（1）
解：由题意得，∠AOB=90°，∠BOC=α=80°，
∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC
∴∠DOB=12∠AOB=45°，∠EOB=12∠BOC=40°，
∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+40°=85°，
即∠DOE的度数是85°；
（2）
解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：

∠DOE=∠DOB+∠EOB=12∠AOB+12∠BOC=45°+12α；
当OC在∠AOB内部时，如下图所示：

∠DOE=∠DOB−∠EOB=12∠AOB−12∠BOC=45°−12α；
当OC在OA下方时，如下图所示：

∠DOE=∠EOB−∠DOB=12∠BOC−12∠AOB=12α−45°；
综上可知，∠DOE=45°+12α或∠DOE=45°−12α或∠DOE=12α−45°．
（3）
解：由（2）可知，∠DOE=36°时，
45°−12α=36°，或12α−45°=36°，或36°=45°+12α
解得α=18°，或α=162°，或α=−18°（舍去），
即α的度数为18°或162°．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【变式6-1】（2022·山东烟台·期末）有公共顶点的两个角，∠AOB=∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．

(1)如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；
(3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度数．
【答案】(1)∠AOE＝∠DOE，理由见解析
(2)∠AOE＝∠DOE，理由见解析
(3)∠BOE的度数为13°或77°

【分析】（1）根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝∠COE，进而推出∠AOE＝∠DOE；
（2）与（1）同理；
（3）分两种情况，∠AOC在∠AOB的内部或∠AOC在∠AOB的外部，根据角的和差关系，由∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，得∠BOC=∠AOB−∠AOC＝26°或∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，然后根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝12∠BOC＝13°或∠BOE＝12∠BOC＝77°．
（1）
解：∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOE＝∠COD＋∠COE，
∴∠AOE＝∠DOE．
（2）
∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB−∠BOE＝∠COD−∠COE，
∴∠AOE＝∠DOE．
（3）
解：当∠AOC在∠AOB的内部时，如图所示：

∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC＝26°，
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝12∠BOC＝13°；
当∠AOC在∠AOB的外部时，如图所示：

∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝12∠BOC＝77°；
综上分析可知，∠BOE的度数为13°或77°．
【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义，是解决本题的关键．
【变式6-2】（2022·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．

(1)∠BOM＝________；
(2)若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【答案】(1)30°
(2)20°或40°
(3)8011分钟

【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据题意分类讨论，分为射线OC在∠AOB内部和外部两种情况计算即可；
（3）根据钟表转动求出时针和分针转动的速度，再根据分针转动的角度-时针转动的角度=∠AOB增加的度数，建立方程解出答案即可．
（1）
解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，
∴∠BOM=12∠AOB=12×60°=30°；
（2）
当射线OC在∠AOB内部时，如图所示，

∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM−∠BON=30°−10°=20°；
当射线OC在∠AOB外部时，如图所示，

∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=12∠BOC=12×20°=10°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；
综上所述，∠MON的度数为20°或40°；
（3）
∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°
∴∠AOB=2∠BOM=100°
设经过x分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°，
∵分针OB的运动速度为每分钟转动：360°60=6°，
时针OA的运动速度为每分钟转动：360°12×60=0.5°，
∴6°x−0.5°x=100°−60°，
解得x=8011，
所以经过8011分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论思想，一元一次方程的应用之行程问题，分类讨论思想和方程思想是本题的关键．
【变式6-3】（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室七年级期末）已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．

（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
（3）若将题中的“平分”条件改为“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为 ．
【答案】（1）∠EOF=45°，（2）∠EOF=12α，（3）∠EOF=23α .
【分析】(1) 首先求得∠BOC的度数， 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得：∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解；
(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF= 12∠BOC+12∠AOC= 12(∠BOC+∠AOC)，即可求解；
(3) 根据角的等分线的定义可得：∠EOF=∠EOC+∠COF= 23∠BOC+ 23∠AOC= 23(∠BOC+∠AOC) =23∠AOB，即可求解 .
【详解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=12∠BOC=12×60°=30°，∠COF= 12∠AOC=12×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=12∠BOC，∠COF=12∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF= 12∠BOC+ 12∠AOC= 12（∠BOC+∠AOC）= 12∠AOB= 12α；
（3）3∠EOB=∠COB ，3∠COF=2∠COA
即∠EOB=13∠BOC，∠COF=23∠AOC，
∴∠EOC=23∠BOC
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23∠AOC= 23（∠BOC+∠AOC）=23∠AOB= 23α．
【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，角的等分线的定义，注意运算的准确性.
【题型7 与角n等分线相关的角的运算】
【例7】（2022·贵州毕节·七年级阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝13∠ECA，∠FCE＝13∠ECB．

(1)求∠DCF的大小，并说明理由；
(2)当∠DCE＝1n∠ECA，∠FCE＝1n∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析
(2)∠DCF=180°n．

【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可；
（2）根据（1）的计算模式，把13换成1n就可得出结果．
（1）
解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=13∠ECA，∠FCE=13∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=13（∠ECA+∠ECB）=13×180°=60°；
（2）
解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=1n∠ECA，∠FCE=1n∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=1n（∠ECA+∠ECB）=1n×180°=180°n．
【点睛】本题考查了角的计算、列代数式，解题关键是掌握角的计算和根据题意列代数式．
【变式7-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）

【答案】70n
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=1n∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=1n∠AOB=70°n+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=70°n，
故答案为：70n．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
【变式7-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知:∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；

（2）如图2，当射线OA,射线OB都在∠COD外部时，过点О作射线OE，射线OF，满足∠BOE=13∠BOC，∠DOF=23∠AOD，求∠EOF的度数．

（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF:∠GOE=2:3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．

【答案】（1）∠AOD+∠BOC=180°，详见解析；（2）150∘；（3）∠GOF的度数是60°或84∘
【分析】（1）根据角与角之间的关系进行转换，证明∠AOD+∠BOC=180°；
（2）利用角度之间的倍数关系，设∠BOE=α，然后用α表示∠BOE、∠AOB、∠AOF，最后加起来就可以算出∠EOF；
（3）分情况讨论，射线OG在∠EOF内部或者外部，再根据比例关系求出∠GOF的度数．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC=180° ，
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵∠BOD+∠BOC=∠COD，
∴∠BOD=90°−∠BOC，
同理：∠AOC=90°−∠BOC，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+90°−∠BOC=180∘−∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC=180°；
（2）解：设∠BOE=α，则∠BOC=3α，
∵∠BOE+∠EOC=∠BOC，
∴∠EOC=∠BOC−∠BOE=2α，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，
∴∠AOD=360°−∠COD−∠BOC−∠AOB =360°−90°−3a−90°=180°−3α，
∵∠DOF=23∠AOD，
∴∠DOF=23(180°−3a）=120°−2a，
∴∠AOF=13∠AOD=13(180∘−3a）=60°−a，
∴∠EOF=∠BOE+∠AOB+∠AOF=α+90°+60°−a=150°，
答：∠EOF的度数是150∘；
（3）①如图，当射线OG在∠EOF内部时，
∵∠GOF:∠GOE=2:3，
∴∠GOF=22+3∠EOF=25∠EOF=25×150°=60°，

②如图，当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF:∠GOE=2:3，
∴∠GOF=22+3360°−∠EOF=25360°−150°=25×210°=84°，

综上所述，∠GOF的度数是60°或84°．
【点睛】本题考查角度的计算，解题的关键是找到图象中角与角之间的联系，进行列式求解，需要注意最后一问要进行分类讨论．
【变式7-3】（2022·江苏淮安·七年级期末）
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
(2)16n
(3)57或2013或15或71011或3407秒

【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
(1)
解：∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝12∠BOC，
∴∠BOD＝12∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
(2)
∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝13∠AOB＝13n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝12∠AOB＝12n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝16n．
故答案为：16n．
(3)
设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
∵当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止
∴x≤3605=72
如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当∠AOC=12∠BOC时，
根据题意可得∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°,则∠BOC=∠AOB−∠AOC=10+x°−5x°=10−4x°

5x=1210−4x
解得x=57
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当12∠AOC=∠BOC时，
∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°,∠BOC=∠AOB−∠AOC=10+x°−5x°=10−4x°

12×5x=10−4x
解得x=2013
即运动时间为2013秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝12∠COB，
∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°,∠BOC=∠AOC−∠AOB=5x°−10+x°−5x°=4x−10°

所以10+x＝12 4x−10，
解得x＝15（符合题意），
即运动时间为15秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则12∠AOB＝∠COB，
∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°,∠BOC=∠AOC−∠AOB=5x°−10+x°−5x°=4x−10°

∴1210+x=4x−10
解得x=103
⑤如图，∵ ∠AOB=10+x°,∠AOC=360−5x°

当∠AOC=12∠AOB时
360−5x=1210+x
解得：x=71011
当12∠AOC=∠AOB时
12360−5x=10+x
解得：x=3407
综上所述，当运动时间为57或2013或15或71011或3407秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
【题型8 在三角板中的角的运算】
【例8】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）将一副三角板如图1摆放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．

(1)∠MON= ___________ ；
(2)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图2的位置，求∠MON；
(3)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图3的位置，求∠MON．
【答案】(1)52.5°
(2)52.5°
(3)52.5°

【分析】（1）利用角平分线的性质，分别求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得∠MON；
（2）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+12∠COB+∠BOD，将式子变形为∠MON=12∠AOD+∠BOD+∠COB+∠BOD=12∠AOB+∠COD，代入数值计算即可；
（3）同（2）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则∠MON=12∠AOD+12∠COB−∠BOD，将式子变形为∠MON=12∠AOD+∠BOD−∠COB−∠BOD=12∠AOD−∠BOD+12∠COB−∠BOD，代入数值计算即可．
（1）
解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠NOB=12∠COB=22.5°，∠MOB=12∠AOD=30°，
∴∠MON=∠NOB+∠MOB=22.5°+30°=52.5°．
故答案为：52.5°．
（2）
解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB=12∠COB，
∴∠MON=12∠AOD+12∠COB+∠BOD
=12∠AOD+∠COB+2∠BOD
=12∠AOD+∠BOD+∠COB+∠BOD
=12∠AOB+∠COD
=1260°+45°
=52.5°；
（3）
解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，
∴∠MOD=12∠AOD，∠NOB=12∠COB，
∴∠MON=12∠AOD+12∠COB−∠BOD
=12∠AOD+∠COB−2∠BOD
=12∠AOD−∠BOD+12∠COB−∠BOD
=12∠AOB+∠COD
=12×60°+45°
=52.5°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，几何图形中角的计算．准确识图并发现角度之间的关系是解题关键．
【变式8-1】（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．

(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．
【答案】(1)CB是∠ECD的角平分线；理由见详解；
(2)∠ACE=∠DCE；理由见详解；

【分析】（1）根据∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，可知∠ECB=12∠ACB=45°，进而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，则∠ECB=∠DCB，由此可证CB是∠ECD的角平分线；
（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，则∠ACE=∠DCB．
（1）
解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ECB=12∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，
∴∠ECB=∠DCB，
∴CB是∠ECD的角平分线；
（2）
猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE＋∠ECB=90°，
∠DCB＋∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键．
【变式8-2】（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板ABC、ADE按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（∠EAD=30°、∠BAC=45°），并将三角板ABC绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持0°<∠CAD≤30°．

(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则∠BAD=____；
(2)在旋转过程中，如图3，当∠BAE=30°时．请说明AC平分∠DAE；
(3)在旋转过程中，如图4，当∠BAE=4∠CAD时，求此时∠CAE的度数．
【答案】(1)75°
(2)见解析
(3)∠CAE=25°

【分析】（1）根据∠BAD=∠EAD+∠BAC计算；
（2）计算∠EAC的度数，得到∠CAE=12∠DAE，得出结论；
（3）设∠CAD=x°，表示出∠BAE，根据∠BAE=4∠CAD，求出x，得出答案；
(1)
解：点A,C,E在同一直线上，∠EAD=30°,∠BAC=45°，
∴ ∠BAD=∠EAD+∠BAC=30°+45°=75°，
故答案为：75°；
(2)
如图3，
，
∵∠BAC=45°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=45°−30°=15°，
∵∠DAE=30°，∠CAE=15°，
∴∠CAE=12∠DAE，
∴AC平分∠DAE；
(3)
如图4，
，
设∠CAD=x°，则∠EAC=30°−x°，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=45°−(30°−x°)=15°+x°，
∵∠BAE=4∠CAD，
∴15°+x°=4x°，
解得x=5，
∴∠EAC=∠DAE−∠CAD=25°．
【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差．
【变式8-3】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．

(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=______；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=______；
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE的数量关系为______；
(3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=15∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【答案】(1)60°
(2)①15°；②∠COE−∠BOD=60°
(3)15°或40°

【分析】（1）先求出∠DOB=90°，再根据∠COD=∠DOB−∠BOC即可得；
（2）①先求出∠AOC=150°，再根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC=75°，然后根据∠COD=∠DOE−∠COE即可得；
②根据∠COD=∠BOC−∠BOD和∠COD=∠DOE−∠COE即可得；
（3）分①∠COD在∠BOC的内部和②∠COD在∠BOC的外部两种情况，根据角的和差分别求出∠COD和∠AOE，再根据∠COD=15∠AOE建立方程，解方程即可得．
（1）
解：∵∠DOE=90°，
∴∠DOB=90°，
∵∠BOC=30°，
∴∠COD=∠DOB−∠BOC=90°−30°=60°，
故答案为：60°．
（2）
解：①∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=150°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴∠COE=12∠AOC=75°，
又∵∠DOE=90°，
∴∠COD=∠DOE−∠COE=15°，
故答案为：15°；
②∵OD在∠BOC内部，
∴∠COD=∠BOC−∠BOD=30°−∠BOD，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE+∠COD=90°，即∠COD=90°−∠COE，
∴30°−∠BOD=90°−∠COE，
即∠COE−∠BOD=60°，
故答案为：∠COE−∠BOD=60°．
（3）
解：①如图，当∠COD在∠BOC的内部时，

∴∠COD=∠BOC−∠BOD=30°−∠BOD，
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,∠DOE=90°，
∴∠AOE=90°−∠BOD，
又∵∠COD=15∠AOE，
∴30°−∠BOD=1590°−∠BOD，
解得∠BOD=15°；
②如图，当∠COD在∠BOC的外部时，

∴∠COD=∠BOD−∠BOC=∠BOD−30°，
∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,∠DOE=90°，
∴∠AOE=90°−∠BOD，
又∵∠COD=15∠AOE，
∴∠BOD−30°=1590°−∠BOD，
解得∠BOD=40°；
综上，∠BOD的度数为15°或40°．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
【知识点8 余角和补角】
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
【题型9 余角和补角的计算】
【例9】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．

(1)求∠AOE的度数．
(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．
【答案】(1)59°
(2)∠AOF和∠COE，31°

【分析】（1）利用余角互余关系求得∠BOD，利用邻角补角关系求得∠AOD，进而人求得∠AOE；
（2）利用等角的余角相等，求得与∠AOF相等的角，即求得∠BOF的补角．
（1）
∵ CO⊥AB，
∴ ∠COA=90°，
∴ ∠AOD=∠COA+∠1 =90°+28° =118°．
∵OE平分∠AOD，
∴ ∠AOE=12∠AOD=12×118°=59°．
（2）
与∠BOF互补的角是∠AOF和∠COE，
因为OF⊥OE，
∴ ∠EOF=90°，
∴ ∠AOF=∠EOF=∠AOE=90°−59°=31°，
∴ ∠BOF补角的度数是31∘ ．
【点睛】本题考查余角、邻补角的定义，利用余角、邻补角的关系是解题关键．
【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是_______．
【答案】70°
【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角的度数为x,
根据题意得：90°-x=15（180°-x）-2°，
解得：x=70°．
所以这个角的度数为70°．
故答案为：70°
【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键．
【变式9-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．

(1)图中∠AOD的补角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ．
(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．
【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE
(2)50°

【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC，再根据角平分线的定义即可得解．
（1）
解： ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠BOD=90°，
∴∠BOD+∠EOC=90°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD+∠COD=180°，
∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．
故答案为：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．
（2）
解：∵OD平分∠BOC，∠COD=40°，
∴∠BOC=2∠COD=80°，
由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−80°=100°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=12∠AOC=50°．
【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
【变式9-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；
（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由．

【答案】（1）∠AOB=120°，其补角为60°；（2）∠DOE=60°，∠AOB=120°，∠DOE与∠AOB互补；（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由见解析.
【分析】（1）由∠AOB=∠BOC+∠AOC，以及补角的定义，即可得到答案；
（2）根据角平分线的定义，即可求出∠DOE和∠AOE的度数，然后∠DOE+∠AOB=180°，即可得到答案；
（3）分别求出∠DOE与∠AOB的度数，然后进行判断，即可得到答案.
【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，
其补角为：180°−∠AOB=180°−120°=60°．
（2）∠DOE与∠AOB互补；
理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=12∠BOC=12×70°=35°，∠COE=12∠AOC=12×50°=25°．
∴∠DOE=∠DOC+∠COE =35°+25°=60°．
∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，
∴∠DOE与∠AOB互补．
（3）∠DOE与∠AOB不互补，
理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=12∠BOC=12α，∠COE=12∠AOC=12β．
∴∠DOE=∠DOC+∠COE =12α+12β=12（α+β）．
∴∠DOE+∠AOB=12（α+β）+（α+β）=32（α+β），
∴∠DOE与∠AOB不互补．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，补角的定义，以及角的和差计算，解题的关键是熟练掌握几何图形中的角度的计算，熟练掌握所学的知识进行计算.
【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】
【例10】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：
①∠COE=∠BOE；
②∠AOD+∠BOC=180°；
③∠BOC−∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（　　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB=∠COD=90°即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．
【变式10-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（    ）

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】D
【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得解．
【详解】解：∵OB⊥AE,OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，
∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，
∴图中互补的角有7对．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．
【变式10-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据互余的概念和对顶角相等解答即可．
【详解】∠EOC的余角有∠AOE，∠BOF，∠BOM，∠AON．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角的性质，关键是掌握互余的概念．
【变式10-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据已知条件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用补角定义依次判断即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵直线b经过点O，
∴∠2+∠3=180°，
①180°−∠2；②∠3是等于∠2的补角的式子，
∵2（∠1+∠2）=180°，
∴∠2=180°-（2∠1+∠2），故③符合题意；
∵∠3=180°-∠2，∠1=90°-∠2，
∴2∠3−2∠1−∠2=2（180°-∠2）-2（90°-∠2）-∠2=180°−∠2，故④符合题意；
∵180°−∠1+∠2≠180°，
∴⑤不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了补角的定义：相加得180度的两个角叫互为补角，根据图形对角度进行和差计算是解题的关键．
【题型11 对顶角的识别及其性质】
【例11】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；
B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．
【变式11-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．

(1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　．
(2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　．
(3)求∠EOD的度数．
【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD
(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD
(3)140°

【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；
（2）根据补角的定义进行判断即可；
（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．
（1）
解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
（2）
图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠COE+∠BOE=180°，
∴∠EOC和∠EOB互补，
∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠AOE+∠EOD=180°，
∴∠AOE和∠EOD互补．
故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．
（3）
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOE，
设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定义得，
25x+25x+x＝180°，
解得：x＝100°
∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DOE＝100°+40°＝140°，
答：∠EOD的度数为140°．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．
【变式11-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.

【答案】65°
【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根据垂线的性质可得∠EOD=90°，再进行解答即可．
【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，
∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
【变式11-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．
(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？
【答案】(1)33
(2)∠AOC的度数是72°

【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；
（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．
（1）
∵∠AOC=76°，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=38°，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=180°−∠DOE=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COF=71°，
∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE
=71°−38°
=33°
故答案为：33；
（2）
设∠AOC=x°，
∴∠BOD=∠AOC=x°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=12x°，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=180°−∠DOE=180°−12x°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COF=12180°−12x°°，
∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36°
∴36°+12x°=12180°−12x°°，
∴x=72°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些角相加得180度．
【题型12 平行、垂直】
【例12】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　）

A．点A到直线l2的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于4
C．点C到AB的距离等于4
D．点B到AC的距离等于3
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．
【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；
点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；
点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；
同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，
故选：A
【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．
【变式12-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（       ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c
【答案】A
【分析】根据平行线的性质分析判断即可．
【详解】A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c，故选项正确，符合题意．
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a//c，故选项错误，不符合题意．
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a⊥c，故选项错误，不符合题意．
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a//c，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．
【变式12-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（    ）

A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂直同一条直线的两条直线平行
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点B、A、C都在直线l的垂线上，故本选项错误；
B.直线BA、BC都经过一个点B，且都垂直于直线l，故本选项正确；
C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义和性质是解决本题的关键.
【变式12-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．

【答案】4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．
【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB•MP＝AM•BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．