初中数学苏科版七年级上册6.2 角习题

这是一份初中数学苏科版七年级上册6.2 角习题，共36页。试卷主要包含了如图1，【阅读理解】，[阅读]，定义等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？
2．如图1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．
(1)开始旋转前，∠AOB＝ ．
(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．
(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．
3．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
4．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
5．
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
6．如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动．
(1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________．
(2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变．
（i）用含有的式子表示的度数_________．
（ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）．
①与互补；②为定值；③为定值；④与互余．
7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
8．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使．
（1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由；
（2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值．
9．[阅读]
材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l平分这个角．
材料2：如图2中，三角板OAB绕点O顺时针旋转60°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O顺时针旋转60°到OC、OD的位置；如图3中，三角板OAB绕点 O逆时针旋转90°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O逆时针旋转90°到OC、OD的位置．
[问题解决]
（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A、C重合）．现在将三角板OCD固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB转动的时间为t秒．
①当三角板OAB转动到图5的位置时，它的一边OA平分∠COD，求t的值；
②当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝ 秒；（直接写出结果）
（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板 OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝ 秒．（直接写出结果）
10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；
③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．
11．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
12．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，= 度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
专题34 与角平分线有关的动角问题
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？
【答案】(1)平分，理由见解析
(2)10或40
(3)30°
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．
（1）
解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）
解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
（3）
解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
2．如图1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．
(1)开始旋转前，∠AOB＝ ．
(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．
(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．
【答案】(1)
(2)秒或秒，秒或秒，秒或秒
(3)分钟或分钟
【分析】（1）根据同角的余角相等可得；
（2）根据路程等于速度乘以时间分别求得运动到所需要的时间，进而求得停止的时间，根据角度的和差可得，根据角度的方向以及角平分线的定义，建立绝对值方程，解方程求解即可；
（3）根据题意作出图形，类比（2）建立方程，在周角内求角度，进而解方程求解即可．
(1)
OB⊥OD，OA⊥OC，
∠COD＝40°
故答案为：
(2)
设旋转时间为秒，
当旋转至所需要的时间为：（秒）
当旋转至所需要的时间为：（秒）
当旋转至所需要的时间为：（秒）
当旋转至时，其他线段都停止，则，
旋转秒后，，，
，
，
①当平分时，，
即或
解得：或
②当平分时，,
即或
解得：或
③当平分时，,
即或
解得：或
综上所述，或，或，或
(3)
如图，
根据题意，6时整时，，
6时至7时，旋转了30°，旋转了360°
则的速度为度/分钟，的速度为度/分钟，
6点整之后，设分钟后，
则
或
解得：或
【点睛】本题考查了角度的旋转，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，钟表角的计算，根据题意建立一元一次方程是解题的关键．
3．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．
4．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
【答案】(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
（1）
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
5．
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 （用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
(2)n
(3)或或或或秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
(1)
解：∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
(2)
∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．
故答案为：n．
(3)
设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止
如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
根据题意可得,,则
解得
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
,,
解得
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,
所以10+x＝，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,
解得
⑤如图，,
当时
解得：
当时
解得：
综上所述，当运动时间为或或或或秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
6．如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动．
(1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________．
(2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变．
（i）用含有的式子表示的度数_________．
（ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）．
①与互补；②为定值；③为定值；④与互余．
【答案】(1)1，2
(2)不变，135°
(3)（i）；（ii）①③④
【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可解决问题；（ⅱ）结论：①③④正确．根据角平分线的定义，三角形内角和定理一一证明即可；
（1）
由题意：，解得，故答案为1，2．
（2）
解：不变化．．理由：如图2，
∵直线直线，
∴，
即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴度数不变化，总是等于．
（3）
（i）由题意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°−α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°−α，∴∠APB＝180°−（45°−α）＝135°＋α故答案为：．
（ii）①∠APB与∠Q互补；正确．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°−(∠QAB＋∠QBA)＝180°−[(180°−∠OAB)＋(180°−∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°−(90°＋α)]＝45°−α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°−α＝180°
②∠M−∠Q为定值．错误．理由：∵∠Q＝45°−α，∴∠M＝90°−∠Q＝45°＋α，∴∠M−∠Q＝α，不是定值．
③∠APB−∠M为定值；正确．理由：同法可证：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB−∠M＝90°为定值．④∠Q与∠M互余；正确．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案为①③④
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；
（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
所以3x＝（180﹣5x﹣3x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝×3x，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．
当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB，
所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．
综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．
8．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使．
（1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由；
（2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值．
【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．
【分析】（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论；
（2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系；
（3）根据题意可知，因为，所以可得，可求出，根据“直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出，，，，然后分情况进行讨论：①时，②时，③时，，从而得出结果．
【详解】解：（1）平分，理由如下：
∵且平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即平分
（2），理由如下：
设为，则
∵
∴
∴
即
（3）∵且
∴
又∵
∴
∴
∵直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转
∴①时，
若与互余，则
解得
②时，
若与互余，则
此时无解
③时，
若与互余，则
解得
综上所述，或时，与互余．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．
9．[阅读]
材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l平分这个角．
材料2：如图2中，三角板OAB绕点O顺时针旋转60°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O顺时针旋转60°到OC、OD的位置；如图3中，三角板OAB绕点 O逆时针旋转90°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O逆时针旋转90°到OC、OD的位置．
[问题解决]
（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A、C重合）．现在将三角板OCD固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB转动的时间为t秒．
①当三角板OAB转动到图5的位置时，它的一边OA平分∠COD，求t的值；
②当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝ 秒；（直接写出结果）
（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板 OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝ 秒．（直接写出结果）
【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．
【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根据平分和三角板OAB转动的速度可得t的值；
②根据角平分先和三角板OAB转动的速度可得t的值；
（2）分线段OB平分∠DOC和直线OB平分∠DOC两种情况，分情况讨论即可．
【详解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，
∵三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°，
∴t秒后，∠AOC＝5t．
当OA平分∠DOC时，∠AOC＝30°，
∴5t＝30°，
解得t＝6．
答：t的值是6．
②∵OB平分∠DOC时，
∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴5t＝360°﹣60°＝300°，
解得t＝60．
故答案为：60．
（2）设三角板OAB和三角板OCD旋转后分别为三角板OA′B′和三角板OC′D′，
①线段OB平分∠DOC时，如图：
∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，
∵∠B′OC′＝30°，
∴∠A′OC′＝60°，
∴5t+3t+60°＝180°，
解得t＝15；
②直线OB平分∠DOC时，如图：
∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°
∵∠B′OC′＝30°，
∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，
∴5t+3t﹣120°＝180°，
解得t＝37.5；
故答案为：15或37.5．
【点睛】本题考查旋转和折叠，角度的计算，掌握角平分线并会分类讨论是解题关键．
10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．
（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；
③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．
（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．
【答案】（1）①40；②画图见解析，95；③；（2）或12或30
【分析】（1）①根据“共生三线”的定义直接计算；
②分别画出OA，OB，再根据OC为∠AOB的平分线画出OC；
③根据①②的经验直接可得结论；
（2）分OB′为∠A′OC′的平分线，OA′为∠B′OC′的平分线，OC′为∠A′OB′的平分线三种情况，列出方程求解．
【详解】解：（1）①∵OA，OB，OC为“共生三线”，OC平分∠AOB，
∴∠AOB=b°-a°=80°，
∴m°=∠AOB=×80°=40°，
故m=40；
②如图，∵，，
∴m=（a+b）÷2=95；
③根据①②的经验可得：
m=；
（2）∵a=0，b=m=60，
∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，
当OB′为∠A′OC′的平分线时，b=，
即60+6t=（12t+60+8t），
解得：t=；
当OA′为∠B′OC′的平分线时，a=，
即12t=（60+6t+60+8t），
解得：t=12；
当OC′为∠A′OB′的平分线时，m=，
即60+8t=（12t+60+6t），
解得：t=30；
综上：t的值为或12或30．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，一元一次方程，解题的关键是能够根据“共生三线”的定义分类讨论，列出方程．
11．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．
【答案】（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；
（2）①根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；
②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．
故答案为：60；
（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；
②分以下两种情况：
当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，
∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．
当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，
∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．
综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
12．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，= 度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
【答案】（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．