专题6.4 动角问题专项训练（40道）-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版）

这是一份专题6.4 动角问题专项训练（40道）-2022-2023学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版），文件包含专题64动角问题专项训练40道举一反三苏科版原卷版docx、专题64动角问题专项训练40道举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。

专题6.4 动角问题专项训练（40道）
【苏科版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的所有类型！
一．解答题（共40小题）
1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)

(1)如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为 　 　和 　 　；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的23 ，求这个角的度数；
(3)如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【答案】(1)∠COD，∠AOE
(2)18°或126°
(3)2s或14s

【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的23”作为等量关系列方程求解；
( 3 )根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．
(1)
∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；
故答案为：∠COD，∠AOE；
(2)
设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：
90+x＝23( 180﹣x )，
解得：x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：
x﹣90＝23(180﹣x)，
解得：x＝126，
∴这个角的度数为18°或126°；
(3)
分三种情况：
①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，
∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝2；
②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t )°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝﹣10(舍去)；
③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴( 210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，
解得：t＝14．
综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果．
2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、O、A共线且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD．
如图2，将射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动．设射线OD的运动时间为t．

(1)运动开始前，如图1，∠AOM＝　 　°，∠DON＝　 　°；
(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AON？
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝35°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40°，50°
(2)当t为10时，射线OB平分∠AON；
(3)存在，符合条件的t的值为553或25．

【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据∠AOB=∠NOB列方程求解即可；
（3）分情况根据∠MON=35°列方程求解即可．
(1)
解：∵∠COD=20°，∠BOC=80°，
∴∠BOD=20°+80°=100°，
∠AOB=180°-∠BOD=180°-100°=80°，
∵射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD，
∴∠AOM=12∠AOB=40°，∠DON=12∠BOD=50°，
故答案为：40，50；
(2)
解：∵射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转，∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，
∴∠BOD=100°+4°t-6°t=100°-2°t，
∵∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t，
∴12×（100°-2°t）=80°-4°t，
解得：t=10，
∴当t为10时，射线OB平分∠AON；
(3)
解：存在某一时刻使得∠MON=35°，分以下两种情况：
①OM在OA上方，
此时∠NOB+∠BOM=35°，
即12×（100°-2°t）+12×（80°-4°t）=35°，
解得t=553，
②OM在OA下方，
即12×（100°-2°t）+12（4°t-80°）=35°，
解得t=25，
综上，符合条件的t的值为553或25．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键．
3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；
(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0 【答案】(1)是；
(2)15°，33.75°，11.25°，30°；
(3)t=3613或t=45或t=6．

【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当∠AOB=3∠AOC时，当∠AOC=3∠BOC时，当∠BOC=3∠AOC时，当∠AOB=3∠BOC时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当0 （1）
解：若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；
故答案为：是．
（2）
解：由题意得：
∵∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，
∴①当∠AOB=3∠AOC时，则有：∠AOC=15°；
②当∠AOC=3∠BOC时，则有∠AOC=34∠AOB=33.75°；
③当∠BOC=3∠AOC时，则有∠AOC=14∠AOB=11.25°；
④当∠AOB=3∠BOC时，则有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；
综上所述：当射线OC为∠AOB的“幸福线”时，∠AOC的度数为15°，33.75°，11.25°，30°；
（3）
解：∵∠AOB=60°，
∴射线ON与OA重合的时间为60°÷15°=4（秒），
∴当0
∴∠MOA=20t°，∠AON=（60−15t）°，
OA是∠MON的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60−15t，t=36（舍去），
②∠MOA=3∠AON，即20t=360−15t，t=3613，
③∠AON=3∠MOA，即60−15t=3×20t，t=45；
④∠AON=3∠MON，即60−15t=3×60+5t，t=−4（舍去）；
当4
∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t−60）°，
ON是∠AOM的“幸福线”，则有以下三类情况：
①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=1211（不符合题意，舍去），
②∠NOA=3∠MOA，即15t−60=3×20t，t=−43（不符合题意，舍去）；
③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t−60，t=6；
④∠NOA=3∠MON，即15t−60=35t+60，t不存在；
综上：t=3613或t=45或t=6．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．

【迁移运用】
(1)如图1，射线PS　　（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT　　（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【答案】(1)不是；是
(2)①52或352；②160°或172°

【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．当∠AOC=2∠AOB时，如图，则：90-4t=2×40．解得：t=52，当∠AOB=2∠AOC时，如图，则：40=2（90-4t）．解得：t=352，综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或352；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．当∠COD=2∠COM时，如图，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．

(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】(1)75°
(2)48011分钟
(3)48013分钟或96023分钟或48分钟

【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；
（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；
（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．
（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，2.5×30°=75°，即分针与时针所夹的锐角的度数是75°．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，8×30°=240°，由题意，6x−0.5x=240，解得x=48011，即8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240−6m，解得m=48013；如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m−240，解得m=96023；如图③，当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，∴6m−240=2×0.5m，解得m=48；综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．
6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．

(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)85
(2)①当t=354时，边PB平分∠CPD；②当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠APC．

【分析】（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
（1）
解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）
解：①如图1所示：

由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
解得，t=354，
∴当t=354时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：

此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
解得：t=354，
因为当t=354时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：

此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
解得：t=12512．
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
解得：t=354，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠APC．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t的代数式表示出∠APC与∠BPD的值是解本题的关键．
7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时， 射线OQ以每秒4°的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．

(1)当t=5时， 求∠POQ的度数；
(2)当OP与OQ重合时，求t的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线OC始终平分∠AOQ ，问：是否存在t的值， 使得 ∠POQ=∠COQ?  若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠POQ的度数为90°
(2)t的值为20或60
(3)存在，t的值为15或22.5或45

【分析】（1）根据题意可得：当t=5时，∠AOP=10° ，∠BOQ=20°，即可求解；
（2）分两种情况：当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时，当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当0 (1)
解：当t=5时，
∠AOP=2°×5=10° ，∠BOQ=4°×5=20°，
∵∠AOB=120°，
∴∠POQ=∠AOB−∠AOP−∠BOQ=90° ；
(2)
解： 当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时， ∠AOP+∠BOQ=∠AOB=120° ，
根据题意得：∠AOP=2°×t ，∠BOQ=4°×t，
∴2°×t+4°×t=120° ，
解得：t=20 ；
当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，∠AOQ=∠AOP ，
根据题意得：∠AOQ=4°×t−120° ，∠AOP=2°×t ，
∴2°×t=4°×t−120°，
解得：t=60 ；
综上所述，当OP与OQ重合时， t的值为20或60；
(3)
解：存在，t的值为15或22.5或45，使得 ∠POQ=∠COQ，理由如下：
由（2）得：当t=20时，OP与OQ第一次重合，当t=120°4°=30 时，OQ到达射线OA，当t=120°2°=60 时，射线OP与射线OB 重合，
当0 ∴∠POQ=120°−2°×t−4°×t=120°−6°×t ，∠AOQ=120°−4°×t ，
∵射线OC平分∠AOQ ，
∴∠COQ=12∠AOQ=60°−2°×t ，
∵∠POQ=∠COQ，
∴120°−6°×t=60°−2°×t，
解得：t=15 ；
如图，当20
∴∠BOP=120°−2°×t,∠AOQ=120°−4°×t ，
∴∠POQ=6°×t−120° ，∠COQ=12∠AOQ=60°−2°×t ，
∵∠POQ=∠COQ，
∴6°×t−120°=60°−2°×t，
解得：t=22.5 ；
如图，当30
∴∠BOP=120°−2°×t ，∠COQ=12∠AOQ=2°×t−60°，
∴∠POQ=120°−4°×t−120°−120°−2°×t=120°−2°×t ，
∴120°−2°×t=2°×t−60°，
解得：t=45 ；
综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得 ∠POQ=∠COQ．
【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
8．（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）

(1)当t=2时，∠MON=_______，∠AON=_______；
(2)当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON=60°．试求出t的值；
(3)当0＜t＜6时，探究∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？
【答案】(1)144°，66°
(2)107秒或10秒
(3)当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当103＜t＜6时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值不是定值

【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；
（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；
（3）分两种情况，分别计算∠BON、∠COM和∠MON的度数，代入可得结论．
(1)
由题意得：
当t=2时，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，
故答案为：144°，66°；
(2)
当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）
如图所示，①当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107，
②当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，
综上，t的值为107秒或10秒；
(3)
当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90+12t=180，解得t=103，
如图所示，①当0＜t＜103时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴∠BON−∠COM+∠AOC∠MON=90°+12t°−(90°−15t°)+90°15t°+90°+12t°=1（定值），
②当103＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∠BON−∠COM+∠AOC∠MON
=90°+12t°−(90°−15t°)+90°270°−27t°
=90°+27t°270°−27t°，
∴（不是定值）．
综上所述，当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当103＜t＜6时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值不是定值．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
9．（2022·福建·泉州七中七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54
【分析】（1）①求出∠BOC，利用角平分线的定义求出∠BOM，进而求出∠AON，然后列方程求解；
②求出∠CON=15°即可求解；
（2）用含t的代数式表示出α和β，消去t即可得出结论；
（3）分三种情况列方程求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠COM=60°，∠BOC=150°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=12∠BOC=75°，
∴∠AON=180°-90°-75°=15°，
∴5t=15，
∴t=3；
②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，
∴∠CON=15°，
∴此时ON平分∠AOC；
（2）由旋转的性质得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，
把①代入②，得
β=α+60°；
（3）当ON与OC重合时，60÷5=12秒，
当OC与OA重合时，(360-60)÷20+12=27秒，
当OC平分∠MON，且OC未与OA重合时，则∠CON=45°，

由题意得，60+20(t-12)-5t=45，
解得t=15；
当OM平分∠CON，且OC未转到OA时，则∠CON=180°，

由题意得，60+20(t-12)-5t=180，
解得t=24；
当OM平分∠CON，且OC转到OA时，则∠AOM=90°，

由题意得，∴360-90=5t，
∴t=54，
综上可知，当t=15或t=24或t=54时， ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解答本题的关键．
10．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？

【答案】（1）是；（2）16n；（3）907或36019或1807或30秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝12∠BOC，
∴∠BOD＝12∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝13∠AOB＝13n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝12∠AOB＝12n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝16n；
（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝12∠COB，
所以3x＝12（180﹣5x﹣3x），
解得x＝907（符合题意），
即运动时间为907秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝12∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝12×3x，
解得x＝36019（符合题意），
即运动时间为36019秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．
当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝12∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝12（180﹣5x），
解得x＝1807（符合题意），
即运动时间为1807秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝12∠COB，
所以180﹣5x＝12（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．
综上所述，当运动时间为907或36019或1807或30秒时，符合题意要求．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．
11．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝　 　．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问∠AOD+∠BOC∠MON的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 　 　．

【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）∠AOD+∠BOC∠MON的值是定值，定值为2；（3）12秒或283秒．
【分析】（1）根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，然后由∠DOB＝2∠BOC进一步得到∠BOC=∠BON=∠DON，设∠AOM=x,∠BOC=y，根据题意分别表示出∠AOD+∠BOC和∠MON，即可求出∠AOD+∠BOC∠MON的值；
（3）首先根据∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出∠COD=13∠AOB=40°，根据题意分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当∠AOB=2∠AOC时，
∠AOC=12∠AOB=12×120°=60°；
当∠AOC=2∠BOC时，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，
∵∠AOC+12∠AOC=120°，解得：∠AOC=80°；
当∠BOC=2∠AOC时，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，
∵∠AOC+2∠AOC=120°，解得：∠AOC=40°；
故答案为：60°或80°或40°．
（2）∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，
又∵∠DOB＝2∠BOC，∠BOD=∠BON+∠DON，
∴∠BOC=∠BON=∠DON，
∴设∠AOM=∠COM=x,∠BOC=∠BON=∠DON=y，
∴∠AOD+∠BOC∠MON=∠AOM+∠COM+∠BOC+∠BON+∠DON+∠BOC∠COM+∠BOC+∠BON=x+x+y+y+y+yx+y+y=2x+4yx+2y=2x+2yx+2y=2
∴∠AOD+∠BOC∠MON的值是定值2；
（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=120°，
∴∠AOC=13∠AOB=40°,∠BOD=13∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠BOD=∠COD=13∠AOB=40°，
∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠AOM=12∠AOC=20°，∠BON=12∠BOD=20°，
∴∠BOM=∠AOB−∠AOM=100°，
将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），
∴当0≤t≤4时，∠COD在∠AOB内部，
∵∠MON=∠AOB−∠AOM+∠BON=∠AOB−12AOC+∠BOD=80°，
∠BON=12∠BOD=12×120°−∠AOC−∠COD=20°−5t，
∠MOB=∠MON+∠BON=80°+20°−5t=100°−5t，
∴当∠MOB=2∠BON时，100°−5t=2×20°−5t，解得：t=−12，舍去，
当∠MON=2∠BON时，80°=2×20°−5t，解得：t=−4，舍去，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当∠BON=2∠MON时，20°−5t=2×80°，解得：t=−28，舍去
当4 ∴∠AOC=40°+10t，∠BOD=10t−40°，
∴∠AOM=∠COM=12∠AOC=20°+5t，∠BON=12∠BOD=5t−20°，
∴∠MOD=∠MOC+∠COD=20°+5t+40°=60°+5t，
∴∠MOB=∠MOD−∠BOD=60°+5t−10t−40°=100°−5t，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，
∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12>8，应舍去，
当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=283>8，应舍去，
当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=443>8应舍去，
当8≤t≤12时，此时ON在∠COD内部，
∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=12∠AOC=20°+5t，
∴∠MOB=∠AOB−∠AOM=120°−20°+5t=100°−5t，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=40°+10t−120°=10t−80°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=10t−80°+40°=10t−40°，
∴∠BON=12∠BOD=5t−20°，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，
∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12，
当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=443>12，应舍去，
当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=283，
当 12 ∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=12∠AOC=20°+5t，
∴∠MOB=∠AOB−∠AOM=120°−20°+5t=100°−5t，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+10t+40°=80°+10t，
∴∠BOD=∠AOD−∠AOB=80°+10t−120°=10t−40°，
∴∠BON=12∠BOD=12×10t−40°=5t−20°，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，
∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12，
当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=443>14，应舍去，
当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=283<12，应舍去，
综上所述，t的值为12秒或283秒．
【点睛】此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解．
12．（2022·天津南开·七年级期末）已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．

（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；
（2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）55；（2）15或2857；（3）t=30或69011或87011或123011
【分析】（1）当OM'恰好平分∠BOC时，OM'需要旋转90°＋12∠BOC＝165°，进而求解；
（2）第一种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，进而求解；第二种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，进而求解；
（3）分四种情况：①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：（1）设∠AOC＝x，则∠BOC＝5x，x＋5x＝180°，
∴∠AOC＝30°，则∠BOC＝150°．
当OM'恰好平分∠BOC时，
OM'需要旋转90°＋12∠BOC＝165°，
165°÷3＝55，
所以，t＝55；
（2）第一种情况：
当OC'∥M'N'时，
∠C’ON’＝∠ON’M’＝45°，
此时t＝（150°−45°）÷（3°＋4°）＝15，
第二种情况：
当OC'∥M'N'时，
∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，
此时t＝（240°＋45°）÷（3°＋4°）＝2857；
（3）分四种情况：
①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，

则2∠AON’＝∠AOC’，即2(180°−3t)＝（30°＋5t），解得：t＝30，
②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，

则2∠AON’＝∠AOC’，即2(3t-180°)＝（360°-30°-5t），解得：t＝69011，
③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，

则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(270°-3t)＝（5t+30°-360°），解得：t＝87011，
④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，

则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(3t-270°)＝（720°-30°-5t），解得：t＝123011
综上所述：∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'， t=30或69011或87011或123011．
【点睛】本题是角的计算以及一元一次方程的应用，主要考查了图形旋转时角的变化等，分类画出图形求解，是解题的关键．
13．（2022·山西晋中·七年级期末）综合与探究：射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．

完成下列任务：
（1）如图2，∠AOB=150°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM= °，若∠AOB的度数是x，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含x的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．
【答案】（1）50，x6；（2）①存在，当t=10秒或12.5秒时，∠COD的度数是20°；②t=457秒或18019秒 或907秒或15秒
【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；
（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解即可；
（3）分为（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：当OC是OA的伴随线时，当OC是OD的伴随线时；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：当OD是OC的伴随线时，当OD是OA的伴随线时，四种情况求解即可.
【详解】解：（1）如图4所示，∠AOM=12∠MOB，
∴∠AOM=13∠AOB=50°,
如图4所示：∠BOC=12∠AOC=x2， ∠BON=13∠AOC=x3,
∴∠NOC=∠BOC−∠BON=x6；
故答案为：50°，x6；
（2）射线OD与OA重合时，t=18010=18（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若OC与OD在相遇之前，如图5：
则180−10t−6t=20，
∴t=10，
若OC与OD在相遇之后，如图6：
则10t+6t−180=20，
∴t=12.5；
所以，当t=10秒或12.5秒时，∠COD的度数是20°．
②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：∠AOC=6°t，∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t，
∠COD=∠AOD−∠AOC=180°−10°t−6°t=180°−16°t，
当OC是OA的伴随线时，如图7：
∠AOC=13∠AOD，
即：6°t=13(180°−10°t)，解得t=457；
当OC是OD的伴随线时，如图8：
∠COD=13∠AOD
即：180°−16°t=13(180°−10°t)，解得t=18019；
（Ⅱ）OC、OD相遇之后：∠AOC=6°t，∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t，
∠COD=∠AOC−∠AOD=6°t−(180°−10°t)=16°t−180°
当OD是OC的伴随线时，9如图：
∠COD=13∠AOC,
即：∠BOC=12∠AOC=x2 16°t−180=13×6°t，解得t=907；
当OD是OA的伴随线时，如图10：
∠AOD=13∠AOC,
即：180°−10°t=13×6°t，解得t=15；
综上：当t=457，18019，907，15秒时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．


【点睛】本题考查了提取信息的能力，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论的思想；关键在于根据题意画出图形，建立方程解答．
14．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）

(1)当t＝　 　秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；
(2)103或503秒；
(3)t=10011或t=17013；

【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）
解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=12∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=505=10（秒）；
故答案为：10；

（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=103；

②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=503
∵OQ停止运动时间t=904=22.5，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为103或503秒；

（3）
解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则3t−10=90−3t−5t，
解得：t=10011；

②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则90−5t−10=3t−(90−5t)，
解得：t=17013；
综合上述，t=10011或t=17013；

【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
15．（2022·浙江杭州·七年级期中）在同一平面内的三条射线OA、OB、OC，①当射线OC在∠AOB内时，若满足∠AOC=2∠COB，则称射线OC是【OA,OB】的好线；若满足∠BOC=2∠AOC，则称射线OC是【OB,OA】的好线；②当射线OC在∠AOB外时，若满足∠AOC=2∠COB，称射线OC是【OA,OB】的皮线．

（1）如图1，∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，则射线OC是【OA,OB】的好线，又是【OA,OD】的皮线；射线______是【OB,OA】的好线，又是____的皮线．
（2）如图2，点O在线段AB上，∠BOD=30°,∠AOC=60°，求【OC,OD】的好线与OA的夹角（写出完整的解答过程）．
（3）如图3，点O在直线AB上，∠BOD=30°, ∠AOC=60°，射线OM从OC位置出发以每秒10°的速度绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t(0 ①求当t为何值时，【OB,OM】的皮线与OC垂直？
②若有射线ON从OD位置与射线OM同时出发以每秒5°的速度绕着点O顺时针方向旋转，并与射线OM同时停止运动，求当t为何值时，OM、OB、ON三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线（直接写出答案）．
【答案】（1）OD，【OB,OC】，（2）120°；（3）①10.5；②t=8.4或667或787或10.5
【分析】（1）根据好线与皮线的定义，即可得到答案；
（2）设【OC，OD】的好线为OE ，则∠COE=2∠EOD，进而即可求解；
（3）①设【OB,OM】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，从而求得OM转过的角度为105°，进而即可求解；②分三种情况：（a）当OB是好线，则∠NOB=2∠MOB或∠MOB=2∠NOB，（b）当ON是好线，则∠BON=2∠MON或2∠BON=∠MON，（c）当OM是好线，则∠BOM=2∠MON或2∠BOM=∠MON，分别求解即可．
【详解】（1）∵∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，
∴∠BOD=2∠AOD，∠BOD=2∠BOC且OD在∠BOC之外，
∴射线OD是【OB,OA】的好线，又是【OB,OC】的皮线，
故答案是：OD，【OB,OC】，
（2）设【OC，OD】的好线为OE ，
∵OE是【OC，OD】的好线，
∴∠COE=2∠EOD，
∵∠BOD=30°，∠AOC=60°，
∴∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°，
∴∠COE=60°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，
∴【OC,OD】的好线与OA的夹角为120°；
（3）①设【OB,OM】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°，
若【OB,OM】的皮线与OC垂直，即ON⊥OC，
则∠NOB=∠BOC-90°=30°，
∴∠MOB=12∠NOB=15°，
∴OM转过的角度为105°，
∴t=105°÷10°=10.5，即当t=10.5秒时，【OB,OM】的皮线与OC垂直；
②分三种情况：
（a）OB是好线，若∠NOB=2∠MOB，则30°-5t=2(120°-10t)，
解得：t=14，
∵0＜t＜12，
∴t=14舍去，
若∠MOB=2∠NOB，则2(30°-5t)= 120°-10t，此时无解；
（b）ON是好线，若∠BON=2∠MON，则5t-30°=2（120°-10t-5t+30°），
解得：t=667，
若2∠BON=∠MON，则2（5t-30°）=120°-10t-5t+30°，
解得：t=8.4；
（c）OM是好线，若∠BOM=2∠MON，则120°-10t =2(5t+10t-120°-30°)，
解得：t=10.5，
若2∠BOM=∠MON，则2（120°－10t）= 5t＋10t－120°－30°，
解得：t=787．
综上所述：当t=8.4或667或787或10.5秒时，OM、OB、ON三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线．
【点睛】本题主要考查几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，理解“好线”与“皮线”的定义，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．
16．（2022·广东汕头·七年级期末）已知∠AOB=150°，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒0 （1）当t=12秒时，求∠POQ；
（2）当OP⊥OQ，求t的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．

【答案】（1）∠POQ=102°；（2）当t=15或60时，OP⊥OQ；（3）当t=30或3007时，OP、OQ、OB其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【分析】（1）分别算出t=12秒时OP,OQ转过的角度，用∠AOB=150°减去转过的角度即可；
（2）分两种情况进行讨论：相遇前OP⊥OQ以及相遇后OP⊥OQ，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：当OP平分∠QOB时；当OQ平分∠POB时；当OB平分∠POQ时；分别进行计算即可．
【详解】（1）当t=12时，∠AOQ=12×3°=36°，∠POB=12×1°=12°
∴∠POQ=∠AOB−∠AOQ−∠POB=150°−36°−12°=102°．
（2）∠AOP=3t，∠POB=t，
OQ与OP相遇前，当0≤t≤37.5时，
∠POQ=150−∠AOQ−∠POB=150−4t
∵OP⊥OQ，
∴150°−4t=90°，
t=15，
OQ与OP相遇后，37.5 ∠POQ=∠POB−150−∠AOQ=4t−150≤50°，
∴OP不垂直OQ，
当50 ∠POQ=∠POB+∠AOQ−150=4t−150，
∵OP⊥OQ，，
∴4t−150=90°，
t=60，
综上所述，当t=15或60时，OP⊥OQ．
（3）当OP平分∠QOB时，
∠POQ=∠POB=12∠QOB，
∴150−4t=t，
t=30，
当OQ平分∠POB时，
∠POQ=∠QOB=12∠POB，
12t=150−3t，
7t=300，
t=3007，
当OB平分∠POQ时，
∠POB=∠QOB，
t=3t−150，
t=75（不合题意），
综上所述，当t=30或3007时，
OP、OQ、OB其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
【点睛】本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
17．（2022·湖北武汉·七年级期末）问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．

(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式ax3+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式ax3+bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求ACAB的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时ADAB的值．
【答案】(1)90°
(2)2022
(3)①14；②112或512

【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE ，∠DOE =12∠AOC，∠COE=12∠BOC，结合∠AOC+∠BOC=180°，整体代入计算即可．
（2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可．
（3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可．
②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可．
（1）
解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOC =12∠AOC，∠COE=12∠BOC，
∵∠DOE=∠DOC+∠COE ，
∴∠DOE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=12×180°=90°，
故答案为：90°．
（2）
∵当x＝1时，代数式ax3+bx+2021的值为2020，
∴a +b+2021=2020，
∴a+b=-1，
∴-a-b=1，
当x＝﹣1时，
ax3+bx+2021
= -a-b+2021
=1+2021
=2022．
（3）
①如图2，

设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，
∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，
∵CE＝3CD，
∴BC+3x= 3CA+3x，
∴CB=3AC，
∴AB=CB+AC=4AC，
∴ACAB=14．
②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，
当点E在C点的右侧时，如图3，

∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=12AE，QE=12CE，
∴PQ=PE-QE=12AE-12CE=12(AE−CE)=12AC=m2，
∵CE＝4PQ，
∴3m-3x=4×m2，
解得x=m3，
故AD=m3，
∴ADAB=m34m=112．
当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，

∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=12AE，QE=12CE，
∴PQ=PE+QE=12AE+12CE=12(AE+CE)=12AC=m2，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×m2，
解得x=5m3，
故AD=5m3，
∴ADAB=m34m=512．
当点E在A点的左侧时，如图5，

∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=12AE，QE=12CE，
∴PQ=PE+QE=12AE+12CE=12(AE+CE)=12AC=m2，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×m2，
解得x=5m3，
故AD=5m3，
∴ADAB=5m34m=512．
综上所述，ADAB的值为112或512．
【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键．
18．（2022·四川·麓山师大一中七年级阶段练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=3∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，则∠MOC=______°．

（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由．

（3）将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按逆时针方向旋转；同时，射线OC也绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，当射线OC恰好平分∠MON时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
【答案】（1）90；（2）∠AOM=∠CON+45°；（3）18s．
【分析】（1）先根据平角定义结合已知条件求出∠AOC和∠BOC的度数，再根据旋转角的定义即可得到结论；
（2）根据余角定义把∠AOM用∠AON表示出来，再把∠CON用∠AON表示出来，求∠AOM与∠CON的差，即可得到结论；
（3）先根据已知条件设OM的旋转角度为15t，OC的旋转角度为5t，再根据OM比OC多旋转180°，列出方程即可得到结论；
【详解】（1）∵∠BOC=3∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，
∴3∠AOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=45°，∠BOC=145°，
由题意可知，∠BOM=45°，
∴∠COM=∠BOC−∠BOM=90°．
（2）当ON在∠AOC内部时，∠AON+∠CON=45°，
又∵∠AON+∠AOM=90°，
∴∠AOM−∠CON=45°，
即∠AOM=∠CON+45°．
（3）射线OM的旋转速度为15°/s，射线OC的旋转速度为5°/s，
则tmax=360°15°=24s，
由题意可知，当OC平分∠MON时，OM恰好在OC前方45°，
则OM比OC多旋转135°+45°=180°，
则15t−5t=180，
解得：t=18，
即此时三角板绕点O的运动时间为18s．
【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．
19．（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．

（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值．
【答案】（1）35°；（2）3s或7.5s或24s
【分析】（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，
∴∠EOB=12∠AOB=75°，
∵∠BOC=60°，∠COD=12∠BOD，
∴∠BOD=40°，∠COD=20°，
∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．
（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，
∴90-15t=60-5t，
解得：t=3．
当OE与OF重合时，15t+5t=150，
解得：t=7.5．
当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，
此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，
∴t=1205=24，
综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求∠AOF∠AOP的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．

【答案】（1）50°；（2）103或6；（3）95或145．
【分析】（1）根据OA′平分∠POB, 设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；
（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA′外部两种情况分类讨论，分别设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分别求出x的值，即可求值；
（3）根据题意分类讨论，根据周角定义分别求出∠A'OA，再根据∠AOP＝∠A'OP，结合已知即可求解．
【详解】解：(1)∵OA′平分∠POB，
∴设∠POA′＝∠A′OB＝x，
∵∠AOP＝∠A′OP= x，
∵∠AOB＝60°，
∴x＋2x＝60°，
∴x＝20°，
∴∠BOF＝90°－2x＝50°；
(2)①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，射线OB在∠POA′内部时，
∵∠AOE＝3∠A′OB，
∴设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，
∵OP⊥EF，
∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，
∴∠AOF∠AOP=180°−3x90°−3x，
∵∠AOP＝∠A′OP，
∴∠AOP＝∠A′OP＝60°+x2，
∴OP⊥EF，
∴60°+x2＋3x＝90°，
∴x＝120°7，
∴∠AOF∠AOP=180°−3×120°790°−3×120°7=900°7270°7=900°270°=103；

②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠POA′外部时，
∵∠AOE＝3∠A′OB，
设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，
∴∠AOP＝∠A′OP＝60°−x2，
∴OP⊥EF，
∴3x＋60°−x2＝90°，
∴x＝24°，
∴∠AOF∠AOP=180°−3x90°−3x=180°−3×24°90°−3×24°=6；

综上所述：∠AOF∠AOP的值是103或6；
(3)∠BOP＝95°或145°；
①如图3，当∠A'OB＝130°时，
由图可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，
又∵∠AOP＝∠A'OP，
∴∠AOP＝35°，
∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；

②如图4，当∠A'OB＝130°时，
由图可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，
又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，
∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；

综上所述：∠BOP的度数为95°或145°．
【点睛】本题考查了角平分线的的定义和角的和差计算，根据题意正确画出图形进行分类讨论是解题关键．
21．（2022·福建·莆田华亭第一中学七年级期末） 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

【答案】（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=12×90°=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠GAO，
∴∠EAF=12(∠BAO+∠GAO)=12×180°=90°．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12(∠BOQ-∠BAO)=12∠ABO，
即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．
∴∠ABO为60°或45°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
22．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC:∠BOC=2:1将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角形板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度是____°；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON−∠COM=_____________°；
（3）在上述直角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰好为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O运动时间为__秒，并说明理由．

【答案】（1）90；（2）30；（3）16．
【分析】(1)根据旋转的性质可知,旋转角为∠MON;
(2)如图3,利用平角的定义,结合已知条件:∠AOC:∠BOC=1：2,求得∠AOC=60°,然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM-∠NOC=30°;
(3)需要分类讨论:当OM平分∠BOC时,旋转角是60°;当ON平分∠AOC时,旋转角为240°．
【详解】解:（1）根据旋转的性质可知: 旋转角为∠MON=90°, 故答案为90．
（2）如图3,

∠AOM-∠NOC=30°,理由如下: ∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC:∠BOC=1:2,
∴∠AOC+2∠AOC=180°,
∴∠AOC=60°，
∴∠AON+CON=60°,①
∵∠MON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°,②
②-①,得∠AOM-∠CON=30°．
（3）16．
理由:如图,

因点O为直线AB上一点,
∠AOC:∠BOC=2:1,
所以∠AOC=120°,∠BOC=60°,
当OM恰好为∠BOC的平分线时,如图所示:
∠AOC=12∠BOC=12×60°=30°,
因为OM旋转的角度=90°+120°+30°=240°,
所以此时三角板绕点O运动的时间为24015=16,
所以当OM恰好∠BOC的平分线时,三角板绕点O的运动时间为16秒．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和角的计算,解决本题的关键是运用分类讨论思想,以防漏解．
23．（2022·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t（秒）

（1）当t=5秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;
（2）t= 秒时，边PB平分∠CPD;
（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1∘的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，
①当t为何值时，边PB平分∠CPD;
②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BPD:∠APC=3:2.若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②t=18秒或25.2秒
【分析】（1）t=0秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°，由由旋转知，4°×5=20∘，进而即可得到答案；
（2）由旋转知，旋转角为4t度，根据题意，列出关于t的方程，即可求解；
（3）①类似（2）题方法，列出关于t的方程，即可求解；
②分两种情况：当边PA在边PC左侧时，当边PA在边PC右侧时，用含t的代数式分别表示出∠APC与∠BPD，进而列出方程，即可求解．
【详解】1当t=5秒时，由旋转知，4°×5=20∘，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB=45∘，
即：t=0秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°，
∴旋转5秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是135°−20∘=115∘，
故答案为：115°；
2由旋转知，旋转角为4t度，
∵边PB平分∠CPD且∠DPC=60∘，
∴4t=180−12×60−45=105，解得：t=26.25，
故答案为:26.25；
3①同2的方法得：4t=180−12×60−t−45，解得：t=21；
②当边PA在边PC左侧时，
由旋转知，∠APC=180−4t−60−t=120−5t，∠BPD=180−45−5t=135−5t，
∵2∠BPD=3∠APC，
∴135−5t=32120−5t，解得：t=18，
当边PA在边PC右侧时，
由旋转知，∠APC=4t+t+60−180=5t−120，
∠BPD=t−180−(45+4t)=5t−135或∠BPD=180−4t+45+t=135−5t，
∵2∠BPD=3∠APC，
∴5t−135=325t−120或135−5t=325t−120，
解得：t=18(不合题意舍去)或t=25.2，
综上所述：t=18秒或25.2秒时，∠BPD:∠APC=3:2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
24．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．

(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON=______°
(2)如图②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON=______°
(3)如图③，在∠AOB内，若∠COD=α0°<α<60°，则∠MON=______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°），求此时∠MON的度数．
【答案】(1)80
(2)80
(3)(60+12α)
(4)∠MON=120°−12α或∠MON=60°+12α

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠COD=∠DOB=13×120°=40°，∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，则∠MON=20°+40°+20°=80°；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，而∠AOC+∠DOB=120°−40°=80°，则∠MOC+∠DON=40°，所以∠MON=40°+40°=80°；
（3）与（2）一样得到∠AOC+∠DOB=120°−α，∠MOC+∠DON=60°−12α，则∠MON=60°−12α+α=60°+12α；
（4）反向延长OA、OB得到OA′、OB′，然后分类讨论：当OD、OC在∠AOB′内部；当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°−12α；
当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON=60°+12α；当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°−12α．
（1）
解：∵OC、OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=13×120°=40°，
∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，
∴∠MON=20°+40°+20°=80°；
故答案为80；
（2）
解：∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，
∵∠AOB=120°，∠COD=40°，
∴∠AOC+∠DOB=120°−40°=80°
∴∠MOC+∠DON=40°，
∴∠MON=40°+40°=80°；
故答案为80；
（3）
解：∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，
∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=12(∠AOC+∠DOB)，
∵∠AOB=120°，∠COD=α，
∴∠AOC+∠DOB=120°−α，
∴∠MOC+∠DON=60°−12α，
∴∠MON=60°−12α+α=60°+12α；
故答案为(60+12α)；
（4）
解：反向延长OA、OB得到OA′、OB′，如图，
当OD、OC在∠AOB′内部，
，
设∠AOD=x，则∠AOC=α+x，
∴∠MOC=12∠AOC=12(α+x)，∠DON=12∠DOB=60°+12x，
∴∠MON=∠BOC−∠COD−∠BON=120°+α+x−12(x+α)−(60°−12x)=60°+12α；
当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°−12α；
当OD、OC在∠A′OB内部，可计算得到∠MON=60°+12α；
当OD、OC在∠A′OB′内部，可计算得到∠MON=120°−12α．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
25．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在∠AOC的内部时，∠AOM−∠NOC的度数是多少？
【答案】(1)平分，理由见解析
(2)10或40
(3)30°

【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．
（1）
解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；

（2）
解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分∠AOC，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
（3）
解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
26．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．

(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；
(2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；
(3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值．
【答案】(1)∠NOB=14°；
(2)旋转一共用了26.5s或41.5s；
(3)n为54.4°或144°．

【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MOB的度数，再根据∠NOB=∠MON-∠MOB可得结论；
（2）需要分两种情况进行讨论，①当点N′在OH的右侧时；②当点N′在OH的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；
（3）根据题意分两种情况，当0°＜n＜90°和90°＜n＜180°时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．
(1)
解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC，
∴∠MOB=12∠BOC=56°，
∵∠MON=70°，
∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°；
(2)
解：由（1）知∠HOB=12∠COB=56°，
设旋转时间为t s，
①当点N′在OH的右侧时，∠HON′=30°，
∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°；
∴t=106°÷4°=26.5；

②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′=30°，
∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+56°+80°=166°；
∴t=166°÷4°=41.5；
综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；
(3)
解：当0°＜n＜90°时，如图，

∵∠BOF=n，
∴∠AOF=180°-n，
∵∠FOA=2∠AOM，
∴∠AOM=12∠AOF=90°-12n，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠BON=12n，
∴∠HON=∠HOF-∠BON-∠BOF=124°-32n，
∠CON=∠BOC-∠BON=112°-12n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON=2∠HON，
∴112°-12n=2（124°-32n），
解得n=54.4°；
当90°＜n＜180°时，如图，

∵∠BOF=n，
∴∠AOF=180°-n，
∵∠FOA=2∠AOM，
∴∠AOM=12∠AOF=90°-12n，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠BON=12n，
∴∠HON=360°-∠HOF-∠BON-∠BOF
=360°-124°-12n-n
=236°-32n，
∠CON=∠BOC-∠BON=112°-12n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON=2∠HON，
∴112°-12n=2（236°-32n），解得n=144°；
综上，n为54.4°或144°．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的定义，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．
27．（2022·山东临沂·七年级期末）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，O为量角器的中心．作射线OA，OB，OC，并将其所对应的量角器内圈刻度分别记为a°，b°，m°．

(1)若射线OA，OB，OC为“共生三线”，且OC为∠AOB的角平分线．
①如图1，a=0，b=80，则m=______；
②当a=40，b=150时，请在图2中作出射线OA，OB，OC，并直接写出m的值；
③根据①②的经验，得m=______．（用含a，b的代数式表示）．
(2)如图3，a=0，b=m=60．将OA，OB，OC按逆时针方向绕点O同时旋转，旋转速度分别为每秒10°，8°，6°，若旋转t秒后得到的射线OA′，OB′，OC′第一次成为“共生三线”，求t的值．
【答案】(1)40，图见解析，95，a+b2；
(2)t=10；

【分析】（1）①根据图1可知：m=40；②利用“共生三线”的定义作图即可，通过图形可知m=95；③利用角平分线的性质可推出m=a+b2；
（2）求出旋转t秒后射线OA′，OB′，OC′所对的刻度，分情况讨论：当OA′平分∠BOC；当OB′平分∠AOC；当OC′平分∠AOB；即可得出t的值；
(1)
解：①由图1可知：a=0，b=80，则m=40；
②当a=40，b=150时，作图如下，由图可知：m=95；

③∵OC为∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC,
∵∠AOC=m−a°，∠BOC=b−m°，
∴m−a=b−m，即：m=a+b2；
(2)
解：经过t秒后，射线OA′，OB′，OC′所对的刻度分别是10t°，8t+60°，6t+60°，
∵OA′，OB′，OC′所对的刻度需在0°∼180°之间，
∴0°≤10t°≤180°，0°≤8t+60°≤180°，0°≤6t+60°≤180°
∴0≤t≤18，
当OA′平分∠BOC时，
10t=128t+60+6t+60，得：t=20（舍去），
当OB′平分∠AOC，
8t+60=1210t+6t+60，得：t无解，
当OC′平分∠AOB；
6t+60=1210t+8t+60，得：t=10，
综上所述：t=10．
【点睛】本题考查角的度量及计算，角平分线的性质，一元一次方程，（1）比较简单，关键是掌握角平分线的性质进行推理；（2）关键是找出t的范围，再对OA′，OB′，OC′的位置关系分类讨论．
28．（2022·福建莆田·七年级期末）将一副直角三角板AEF，AGH如图1摆放在直线PQ上，其中A，E，G三点在直线PQ上，三角板AEF在直线PQ上方，三角板AGH在直线PQ下方，∠GAH＝90°，∠FAE＝60°．

(1)将三角板AGH从图1位置开始绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则∠HAE﹣∠FAG＝_______；
(2)若三角板AEF和三角板AGH同时从图1所示的位置分别以速度1、6（度/秒）绕点A逆时针旋转，问：经过多少秒后，AH和AF第一次重合；
(3)三角板AGH旋转到直线PQ上方，点B在射线AQ上，若射线AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠BAP＝2∠PAG，AC平分∠HAF，当∠BAC＝∠PAF时，求n的值．
【答案】(1)30°
(2)30
(3)72或168．

【分析】（1）根据角的和差关系得∠HAE﹣∠FAG＝（90°﹣∠GAE）﹣（60°﹣∠GAE）＝30°；
（2）设经过x秒后，AH和AF第一次重合，依题意得：6x﹣x＝150，解方程即可；
（3）当∠GAH在∠PAF内部，令∠PAG＝x°，则∠PAB＝2x°，∠HAF＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，∠HAC＝12（30°﹣x），则BAC＝12（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，当∠GAH在射线AF的两侧，同理可列出方程．
（1）
解：∵∠GAH＝90°，∠FAE＝60°，
∴∠HAE﹣∠FAG＝（90°﹣∠GAE）﹣（60°﹣∠GAE）
＝90°﹣∠GAE﹣60°+∠GAE
＝30°，
故答案为：30°；
（2）
解：∵∠GAH＝90°，∠FAE＝60°，
∴∠HAF＝∠HAG+∠FAE=150°，
设经过x秒后，AH和AF第一次重合，
依题意得：6x﹣x＝150，
解得x＝30，
答：经过30秒后，AH和AF第一次重合；
（3）
解：①当∠GAH在∠PAF内部，如下图，
   
设∠PAG＝x°，
则∠PAB＝2x°，∠HAF＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，∠HAC＝12（30°﹣x），
∴∠BAC＝12（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，
解得：x＝6，
则∠QAB＝180°﹣2x＝168°；
②当∠GAH在射线AF的两侧，如下图，

设∠PAG＝x°，则∠PAB＝2x°，∠FAG＝120﹣x°，
∠HAF＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，∠HAC＝12（x°﹣30°），
∠HAQ＝90°﹣x°，∠BAQ＝180°﹣2x，
∴∠BAC＝12（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，
解得：x＝54，
则∠QAB＝180°﹣2x＝72°，
综上所述得：n的值为72或者168．
【点睛】本题主要考查了角的和差关系，角平分线的定义，旋转的性质，运用方程思想是解题的关键．
29．（2022·福建·厦门一中七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本题所涉及的角都是小于180°的角）

(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当α=40°，β=70°时，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；
②∠MON=______（用含有α或β的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有α或β的代数式表示）
(3)如图（4），当α=40°，β=70°时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)35°,55°,20°,12α
(2)12α，180°−12α
(3)48分钟时，∠MON的度数是40°

【分析】（1）根据角平分线的定义判断即可；
（2）①根据∠MON=12(∠POB+∠POA)求解即可，②根据∠MON=12(∠BOQ+∠QOA)求解即可；
（3）分OP在∠AOB的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于∠POA+∠AOB+∠BOC，在内部时可以判断∠POM=35°，∠MON=∠POM−PON =40°，则此情况不存在
(1)
①∵ OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当α=40°，β=70°时，∠COM= 12∠BOC=12β=35°，
∠CON= 12∠AOC=12(∠AOB+∠BOC)=12(α+β)=55°，
∠MON= ∠CON−COM=12(α+β)−12β=12α=20°
②∠MON =∠CON−COM=12(α+β)−12β=12α
故答案为：35°,55°,20°,12α
(2)
①∵OM平分∠POB，ON平分∠POA，
∴ ∠MON=12(∠POB+∠POA) =12∠AOB=12α
②∵OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
∴ ∠MON=12(∠BOQ+∠QOA) =12(360°−∠AOB)=180°−12α
故答案为：12α，180°−12α
(3)
根据题意∠POQ=∠BOC=β
∵OM平分∠POQ，
∴∠POM=12∠POQ=12β=35°
如图，当OP在∠AOB的外部时，

∵ MON的度数是40°
∵∠MON=∠PON+POM
∴∠PON=5°
∵ ON平分∠POA，
∴∠POA=2∠PON=10°
∴∠POC=120°
则OP旋转了360°−120°=240°
∴240÷5=48分
即48分钟时，∠MON的度数是40°

如图，OP在∠AOB的内部时，
∵∠MON=∠POM−∠PON
即40°=35°−∠PON
∴∠PON=−5°
此情况不存在
综上所述，48分钟时，∠MON的度数是40°
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题的关键．
30．（2022·北京·清华附中七年级期末）已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．

(1)如图1，当OA，OC重合时，∠EOF= 度；
(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC=α，满足0°<α<90°且α≠40°．
①如图2，用等式表示∠BOF与∠COE之间的数量关系，并说明理由；
②在∠COD旋转过程中，请用等式表示∠BOE与∠COF之间的数量关系，并直接写出答案．
【答案】(1)50
(2)①∠BOF+∠COE=90°；②α<40°时，∠BOE+∠COF=150°+α；40°<α<90°时，∠BOE−∠COF=α−30°

【分析】（1）由题意得出∠AOD=∠COD=40°，∠BOD=∠AOB+∠COD=140°，由角平分线定义得出∠EOD=12∠AOD=20°，∠DOF=12∠BOD=70°，即可得出答案；
（2）①由角平分线定义得出∠EOD=∠AOE=12∠AOD=20°+12α，∠BOF=12∠BOD=70°+12α，求出∠COE=∠AOE−∠AOC=20°−12α，即可得出答案；
②由①得∠EOD=∠AOE=20°+12α，∠DOF=∠BOF=70°+12α，
当∠AOC<40°时，求出∠COF=∠DOF−∠COD=30°+12α，∠BOE=∠BOD−∠EOD=∠AOB+∠COD+α−∠EOD=120°+12α，即可得出答案；
当40°<∠AOC<90°时，求出∠COF=∠DOF+∠DOC=150°−12α，∠BOE=∠BOD−∠DOE=120°+12α，即可得出答案．
（1）
∵OA，OC重合，
∴∠AOD=∠COD=40°，∠BOD=∠AOB+∠COD=100°+40°=140°，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠EOD=12∠AOD=12×40°=20°，∠DOF=12∠BOD=12×140°=70°，
∴∠EOF=∠DOF−∠EOD=70°−20°=50°；
（2）
①∠BOF+∠COE=90°；理由如下：
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠EOD=∠AOE=12∠AOD=12(40°+α)=20°+12α，∠BOF=12∠BOD=12(∠AOB+∠COD+α)=12(100°+40°+α)=70°+12α，
∴∠COE=∠AOE−∠AOC=20°+12α−α=20°−12α，
∴∠BOF+∠COE=70°+12α+20°−12α=90°；
②由①得：∠EOD=∠AOE=20°+12α，∠DOF=∠BOF=70°+12α，
当∠AOC<40°时，如图2所示：

∠COF=∠DOF−∠COD=70°+12α−40°=30°+12α，
∠BOE=∠BOD−∠EOD=∠AOB+∠COD+α−∠EOD=100°+40°+α−(20°+12α)=120°+12α，
∴∠BOE+∠COF−∠AOC=120°+12α+30°+12α−α=150°，
∴∠BOE+∠COF=150°+α
当40°<∠AOC<90°时，如图3所示：

∠COF=∠DOF+∠DOC=12(360°−140°−α)+40°=150°−12α，
∠BOE=∠BOD−∠DOE=140°+α−(20°+12α)=120°+12α，
∴∠COF+∠AOC−∠BOE=150°−12α+α−(120°+12α)=30°；
∴∠BOE−∠COF=α−30°
综上所述，α<40°时，∠BOE+∠COF=150°+α；40°<α<90°时，∠BOE−∠COF=α−30°
【点睛】本题考查了角的计算、角平分线定义等知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
31．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，－6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）．

（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝________；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝________；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α－β|＝75°，请求出t的值．
【答案】（1）45°，（2）①30°，②∠BCE＝2α，理由见解析，（3）2.5
【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；
（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，∵∠EOD＝90°，OF平分∠EOD，
∴∠FOD＝12∠EOD＝45°，
故答案为45°
（2）①如图2中，当t＝1时，
∴∠DCA＝30°，
∵∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCA＝12∠ECA＝60°
∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°
故答案为30°．
②如图2中，猜想：∠BCE＝2α．
理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，
∴∠ECF＝90°﹣α，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，
∵点A，C，B共线
∴∠ACB＝180°
∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．
（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝12（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+12（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|α﹣β|＝75，
∴|-30t|＝75，
解得t＝2.5．
答：t的值为2.5．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题．
32．（2022·四川·达州市第一中学校七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的“伙伴角”是　 　；
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒；
①当t为何值时，OD为∠AOC的角平分线；
②当t为何值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”．

【答案】（1）∠BOE．（2）①t＝15，②t＝15或t＝35
【分析】（1）根据“伙伴角”定义求得∠BOE＝120°，即可得出结论；
（2）①根据角平分线的定义，列出一元一次方程解方程求解即可；②根据“伙伴角”定义列出一元一次方程解方程求解即可；
【详解】解：（1）∵O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∠BOC＝180°﹣∠AOC＝90°，
∠COD＝∠AOE＝90°﹣∠COE＝60°，
∴∠COE＝∠BOD＝90°﹣∠COD＝30°，
设∠AOE的“伙伴角”为α，则|α﹣60°|＝60°，
∴α＝120°或α＝0°（不符合题意，舍去），
∴∠AOE的“伙伴角”是∠BOE，
故答案为：∠BOE．
（2）①当OD平分∠AOC时，则1°×t＝12×30°，
∴t＝15，
∴当t＝15时，OD为∠AOC的角平分线．
②当OP与OB重合时，则4°×t＝180°，
解得t＝45，
∴t的取值范围是0＜t≤45，
∵∠POD与∠POE互为“伙伴角”，
∴|∠POD﹣∠POE|＝60°，
∵∠POD＝30°+4°t﹣1°t＝30°+3°t，∠POE＝180°﹣4°t+1°t＝180°﹣3°t，
∴|30°+3°t﹣（180°﹣3°t）|＝60°，
解得t＝15或t＝35，
∴当t＝15或t＝35时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角度四则运算，理解“伙伴角”的定义是解题的关键．
33．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如图①，若∠AOC=28°，求∠DOE的度数；
（2）在图①，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC−4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
【答案】（1）14°；（2）α2；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE−52∠AOF＝90°
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝90°可以求得∠DOE的度数；
（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；
（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC＋∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由∠AOC−4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝12∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．
即∠DOE＝14°；
（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90°−180°−α2＝α2．
故答案是：α2；
（3）①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．
化简，得∠AOC＝2∠DOE；
②2∠DOE−52∠AOF＝90°．
理由：∵∠AOC−4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，
∴2∠AOF＋∠BOE＝12（∠AOC−∠AOF），
∴2∠AOF＋∠BOE＝12∠AOC−12∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴52∠AOF＝∠DOE−∠BOE，
∴52∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴52∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．
∴52∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．
化简，得2∠DOE−52∠AOF＝90°．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
34．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．

(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)154或157或3．

【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =12∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：

∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=154．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=157．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=154或157或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
35．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知：如图1，∠AOB=30°，∠BOC=34∠AOC．

(1)求∠AOC的度数；
(2)如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ=10°时，试求t的值；
(3)如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）
【答案】(1)120°
(2)5或10或12.5或13.75
(3)60°或120°

【分析】（1）由题意可得，∠AOB=14∠AOC，可直接求解；
（2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①OP逆时针运动时，OP，OQ相遇前和相遇后；②OP顺时针旋转，OP，OQ相遇前和相遇后，分别画图求解即可；
（3）根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，③∠CON=180°前，④OP与OQ重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．
(1)
解：∠BOC=34∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，
∴∠AOB=14∠AOC，
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=120°；
(2)
由（1）知，∠AOC=120°，∠BOC=90°，
①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，

由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，
OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，
OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10；
②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t，

OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5，
OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75，
综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ=10°．
(3)
由（1）知∠AOC=120°，
根据射线OP的运动，需要分四种情况，
①当射线OP与OA重合前，如图3（1），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12∠AOC=60°；
②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，如图3（2），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=12∠AOP-12∠COP=12∠AOC=60°；

③∠CON=180°前，如图3（3），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12（360°-∠AOC）=120°；
④OP与OQ重合前，如图3（4），

∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠PON-∠POM=12∠COP+12∠AOP=12∠AOC=60°；
综上，∠MON的度数为60°或120°．
【点睛】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键．
36．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知如图1，线段∠AOB=40°

（1）若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC=_______________；
（2）如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【答案】（1）60°或30°；（2）80°；（3）当0≤t≤12或68≤t<72时，4∠AON+∠COM为定值80°．
【分析】（1）分两种情形，当OC在∠AOB内部时，先求得∠AOC，再用∠AOB-∠AOC即得∠BOC；当OC在∠AOB外部时，同样先求得∠AOC，再用∠AOB+∠AOC即得∠BOC；
（2）设∠CON=x°，据题意依次用x表示出∠COM、∠NOM、∠AOM，再表示出∠AON，然后用x表示出4∠AON+∠COM化简即得答；
（3）按ON和OM的不同位置分四种情形进行讨论．记OM转过的角度为α，第一种情形，当0≤α≤60°时，用t依次表示出∠MOB、∠COM，据“ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM”表示出∠AON，最后用x表示出4∠AON+∠COM化简，若结果不含x，则4∠AON+∠COM就是定值，否则不是定值；其它三种情形是：①当60°<α≤240°、②当240°<α<360°且ON在∠COA之外、③当240°<α<360°且ON在∠COA之内，也同第一种情形类似分别进行处理．
【详解】（1）分两种情形：
当OC在∠AOB内部时，如下图1-1

∵∠AOC=13∠BOC
∴∠AOC=14∠AOB=10°
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=40°-10°=30°；
第二种情形，当OC在∠AOB外部时，如下图1-2

∵∠AOC=13∠BOC
∴∠AOC=12∠AOB=20°
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=40°+20°=60°．
综上所述∠BOC=30°或60°．
（2）解：如图2，

设∠CON=x°
∵ON是∠MOC四等分线且3∠CON=∠NOM
∠NOM=3x°
∴∠COM=4x°，
又∠AOC=20°
∴∠AOM=(4x−20)°
∴∠AON=∠NOM−∠AOM=3x°−(4x−20)°=20°−x°
∴4∠AON+∠COM=4(20°−x°)+4x°=80°
即4∠AON+∠COM=80°
（3）记OM转过的角度为α，分四种情形讨论：
第一种情形，当0≤α≤60°时（此时，0≤t≤605=12）
如下图3-1

由∠MOB=5t°得∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=20°+40°-5t°=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线且3∠CON=∠NOM
∴∠AON=∠COA−∠CON=∠COA−14∠COM=20°−14(60°−5t°)=5°+54t°
∴4∠AON+∠COM=4(5°+54t°)+(60°−5t°)=80°
∴当0≤t≤605=12时，4∠AON+∠COM为定值80°；
第二种情形，当60°<α≤240°时，（此时12 如下图3-2

由∠MOB=5t°得∠COM=∠MOB –(∠COA+∠AOB) =5t°-(20°+40°)= 5t°-60°
∵ON是∠MOC四等分线且3∠CON=∠NOM
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14(5t°−60°)=5°+54t°
∴4∠AON+∠COM=(5t°−60°)+4(5°+54t°)=10t°−40°
∴当12 第三种情形，当240°<α<360°且ON在∠COA外时（此时，48
由∠MOB=360°-5t°得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°-5t°+(20°+40°)=420°- 5t°，
∵ON是∠MOC四等分线且3∠CON=∠NOM
∴∠AON=∠CON−∠COA=14∠COM−∠COA=14(420°−5t°)−20°=85°−54t°
得4∠AON+∠COM=(420°−5t°)+4(85°−54t°)=760°−10t°，
所以得当48≤t<3405=68时，4∠AON+∠COM不为定值．
第四种情形，当240°<α<360°且ON在角∠COA内或与OA重合时（此时68≤t<72）如下图3-4

由∠MOB=360°-5t°得∠COM=∠MOB +（∠COA+∠AOB) =360°-5t°+(20°+40°)=420°- 5t°，
∵ON是∠MOC四等分线且3∠CON=∠NOM
∴∴∠AON=∠COA−∠CON=∠COA−14∠COM=20°−14(420°−5t°)=54t°−85°
∴4∠AON+∠COM=(420°−5t°)+4(54t°−85°)=80°
∴当68≤t<72时，4∠AON+∠COM为定值80°．
综上讨论得当0≤t≤12或68≤t<72时，4∠AON+∠COM为定值80°．
【点睛】此题考查角平分线的概念及角的和差，当OM绕点O旋转时，会引起图形质的变化分清情况进行讨论是关键．
37．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC=50°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．

（1）∠BOC的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
（2）三角尺旋转的度数可表示为___________（用含t的代数式表示）：当t=___________时，MO⊥OC．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，OM⊥OE，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤623，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）130°，∠AOC；（2）15°t，83秒或443秒；（3）4秒或22秒，理由见解析；（4）存在，t=265秒、527秒、525秒
【分析】（1）根据∠BOC与∠AOC互补即可得出结果；
（2）用旋转的速度乘以t得到度数，由MO⊥OC，分情况讨论，求出旋转角的度数，即可算出t的值；
（3）分类讨论，用t表示出三角尺和直尺的旋转度数，根据OM⊥OE，列式求出t的值；
（4）分类讨论，当OM在OC左侧或当OM在OC右侧，根据∠COM与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍，列出式子求出t的值．
【详解】（1）∵∠AOC=50°，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=130°，
与∠BOC互补的角是∠AOC，
故答案是：130°，∠AOC；
（2）旋转的速度是每秒15°，
∴旋转的度数表示为15°t，
当MO⊥OC时，
①∠MOC=90°，
∴∠BOM=180°−∠MOC−∠AOC=40°，
15°t=40°，解得t=83s，
②旋转角为∠BOC+∠COM=130°+90°=220°，
15°t=220°，解得t=443s，
故答案是：15°t，83s或443s；
（3）①如图①当OM在OE左侧时，∠BOE=(130+5t)度，∠BOM=(15t)度，

∵OM⊥OE，
∴∠MOE=90°，
由题意得130+5t=90+15t，解得t=4s，
②如图②当OM在OE右侧时，三角尺旋转的角度为15t度，直尺旋转的角度为5t度，

∵OM⊥OE，
∴∠MOE=90°，
由题意得130+5t+90=15t，解得t=22s，
综上所述，当t=4秒或22秒时，OM⊥OE；
（4）①当OM在OC左侧时，
（ⅰ）∠COM:∠COE=2:1，如图③，

2×5t=130−15t，解得t=265s；
（ⅱ）∠COM:∠COE=1:2，如图④，

5t=2(130−15t)，解得t=527s；
②当OM在OC右侧时，
（ⅰ）∠COM:∠COE=1:2，如图⑤，

5t=2(15t−130)，解得t=525s；
（ⅱ）∠COM:∠COE=2:1，因为0≤t≤623，所以不存在；
∴综上所述，当t=265秒、527秒、525秒时两个角其中一个是另一个的两倍．
【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间t有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想．
38．（2022·重庆·七年级期末）如图1，∠AOB=40°，∠COD=60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．

（1）若∠MON=70°，则∠BOC=_________°；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得∠BOP−∠MON′的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40°；（2）①t的值为5或30；②综上存在且定值为40°，0≤t≤50．
【分析】（1）根据角平分线的性质结合题意即可求出∠BOC的大小．
（2）①分类讨论逆时针旋转和顺时针旋转两种种情况，根据角平分线的性质结合题意分别用t表示出∠BOC′和∠BON′，列出等量关系式求出t即可．
②分类讨论逆时针旋转和顺时针旋转两种种情况，且细化分为C′在B上方和C′在B下方．根据角平分线的性质结合题意分别用t表示出∠BOP和∠MON′，再求其差的绝对值即可．再求出每种情况的t的取值范围即可．
【详解】（1）∵OM平分∠AOB，∠AOB=40°，
∴∠MOB=20°．
∵∠MON=70°，
∴∠BON=∠MON−∠MOB=70°−20°=50°．
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON=∠DON=50°，
∴∠CON=∠COD−∠DON=60°−50°=10°，
∴∠BOC=∠DON−∠CON=50°−10°=40°．
（2）①逆时针旋转时：当C′在B上方时，


根据题意可知∠BOC′=40°−4t，∠BOD′=∠BOD−4t=∠BOC+∠COD−4t=40°+60°−4t=100°−4t．
∴∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°−2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON′，即40°−4t=12(50°−2t)，
解得：t=5s．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，即此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：


同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，即此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合之后，
由题意可求OC′与OB重合用的时间=∠AOC÷4+∠AOB÷6=(∠AOB+∠BOC)÷4+∠AOB÷6=80°÷4+40°÷6=803s，
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′=6(t−803)，
∴∠BOD′=∠BOC′+60°=6(t−803)+60°=6t−100°．
∴∠BON′=12∠BOD′=12(6t−100°)=3t−50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON′，即6(t−803)=12(3t−50°)，
解得：t=30s．
综上t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，


根据①可知∠BOC′=40°−4t，∠BOD′=100°−4t，∠BON′=50°−2t．
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=40°+100°−4t=140°−4t，
∴∠AOP=12∠AOD′=12(140°−4t)=70°−2t，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=70°−2t−40°=30°−2t，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=12∠AOB+∠BON′=20°+50°−2t=70°−2t．
∴∠BOP−∠MON′=30°−2t−70°+2t=40°，此段时间t≤∠BOC÷4=40°÷4=10s；
当C′在B下方时，


设经过OB后运动时间为t2，
同理可知，∠BOC′=4t2，∠BOD′=60°−4t2，
∴∠BON′=12∠BOD′=30−2t2．
∴∠AOD′=∠AOB+∠BOD′=40°+60°−4t2=100°−4t2，
∴∠AOP=12∠AOD′=12(100°−4t2)=50°−2t2，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=50°−2t2−40°=10°−2t2，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=12∠AOB+∠BON′=20°+30−2t2=50°−2t2．
∴∠BOP−∠MON′=10°−2t2−50°+2t2=40°，此段时间10 顺时针旋转时：当C′在B下方时，设没到达OB时的时间为t3，


同理可知∠BOC′=40°−6t3，∠BOD′=20°+6t3，
∴∠BON′=12∠BOD′=10°+3t3，
∴∠AOD′=60°+6t3，
∴∠AOP=30°+3t3，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=3t3−10°，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=12∠AOB+∠BON′=30°+3t3．
∴∠BOP−∠MON′=3t3−10°−30°−3t3=40°，此段时间20 当C′在B上方时，


设经过OB后运动时间为t4，
同理可知∠BOC′=40°+6t4，∠BOD′=100°+6t4，
∴∠BON′=12∠BOD′=50°+3t4，
∴∠AOD′=140°+6t4，
∴∠AOP=70°+3t4，
∴∠BOP=∠AOP−∠AOB=30°+3t4，
∵∠MON′=∠MOB+∠BON′=12∠AOB+∠BON′=70°+3t4．
∴∠BOP−∠MON′=30°+3t4−70°−3t4=40°，此段时间803 综上存在且定值为40°，0≤t≤50．
【点睛】本题考查旋转综合题，根据角平分线的性质利用已知条件找到角的等量关系并结合分类讨论的思想是解答本题的关键．分类情况较多，本题属于难题．
39．（2022·福建泉州·七年级期末）一副三角板，∠AOD=∠CBO=90°
（1）按如图①所示方式放置，点O、D、C三点共线，∠BOC=30°，求∠AOB的度数；

（2）在（1）的条件下，若OP,OQ分别是∠COA与∠BOC内部的一条射线，且OP,OQ均以点O为中心，分别从OA、OC位置出发，以3n度/秒、n度/秒的旋转速度沿逆时针方向旋转，当OQ与OB重叠时，所有旋转均停止，试说明:当旋转t秒后，∠COP=3∠BOQ;
（3）若三角板BOC (不含30°角)是一块非标准三角板，按如图②所示方式放置，使∠AOC=3∠BOC，作射线OT，若∠BOT−∠AOT=∠COT，求∠COT与∠AOB的度数之比．

【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）1:2或1:1
【分析】（1）利用角的计算法则将∠AOD和∠BOC相加即可求得结果；
（2）利用旋转速度和旋转时间将∠COQ和∠AOP的度数用含n、t的式子表示出来，再利用角的计算法则表示出∠COP和∠BOQ，即可得到∠COP=3∠BOQ；
（3）分两种情况：OT在∠AOB内部和外部时，根据已知条件进行计算变形，即可求得结果．
【详解】解：（1）∵∠BOC=30°，∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOD=30°+90°=120°；
（2）当旋转t秒后，∠AOP=3nt°,∠COQ=nt°，
∵∠BOC=30°,∠AOD=90°，
∴∠BOQ=∠BOC−∠COQ=30−nt°，∠COP=∠AOD−∠AOP=90−3nt°=3(30−nt)°，
∴∠COP=3∠BOQ；
（3）当OT在∠AOB内部时，如图②所示，
∵∠BOT−∠AOT=∠COT，∠BOT−∠BOC=∠COT，
∴∠AOT=∠BOC，
∵∠AOC=3∠BOC，
∴∠AOT=∠BOC=14∠AOB，
∴∠COT=∠AOB−∠AOT−∠BOC=12∠AOB，
∴∠COT与∠AOB的度数之比为1:2；

当OT在∠AOB外部时，如图③所示，
∵∠BOT−∠AOT=∠COT，∠BOT−∠BOC=∠COT，
∴∠AOT=∠BOC，
∴∠AOT+∠AOC=∠BOC+∠AOC，即∠COT=∠BOA，
∴∠COT与∠AOB的度数之比为1:1

【点睛】本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．解题的关键是理解题意，表示出角度与角度之间的关系；分类讨论也是解题的关键．
40．（2022·重庆巴蜀中学七年级开学考试）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)
(1)如图1，求∠MON的度数；
(2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒
①当8 ②当0
【答案】（1）80°；（2）①所求的∠BOM与∠AON的数量关系为：2∠AON−∠BOM=160°(8 【分析】（1）设∠BOC=x，则可得∠AOC=120°−x和∠BOD=40°−x，根据角平分线的定义得∠MOC和∠NOB，再根据∠MON=∠MOC+∠BOC+∠NOB即可得；
（2）①当8 ②根据图中的角均小于180°，首先要分OC是否转过OA；再分OC与OD是否转到共线的位置；然后分角平分线OM与ON是否共线，即∠MON是否大于180°；最后分OC与OD是否重合；计算各个情形的下∠MON和∠COD，代入∠MON−∠COD=14∠AOB即可计算出t的值.
【详解】（1）设∠BOC=x
∵∠AOB=120°，∠COD=40°
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=120°−x∠BOD=∠COD−∠BOC=40°−x
又∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=12∠AOC=120°−x2，∠NOB=12∠BOD=40°−x2
∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠NOB=120°−x2+x+40°−x2=80°；
（2）①由题意将t分为以下两段：
当8 此时有2∠AON−∠BOM=160°
当20 此时有2∠AON+∠BOM=520°
综上，所求的∠BOM与∠AON的数量关系为：2∠AON−∠BOM=160°(8 ②根据图中的角均小于180°，需作以下几方面的讨论：
当OC恰好转到OA的位置时，t=80°10°=8；当OC与OD恰好转到共线的位置时，10°t+40°+5°t=180°，即t=283；当OC与OD转到使OM与ON恰好共线的位置时，10°t−80°2+5°t2=60°，即t=403；当OC与OD恰好重合时，10°t+5°t+40°=360°，即t=643，下面据此将t的取值范围逐一分段：
1）当0 代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2=30°解得t=43
2）当8 代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2−40°=30°解得t=283（舍）
3）当283 代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：45°t2−240°=30°解得t=283（舍）或t=12
4）当403 代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：15°t2−40°=30°解得t=283（舍）
5）当643 代入∠MON−∠COD=14∠AOB得：600°−45°t2=30°解得t=763
综上，所求的t的值为：t=43或t=12或t=763.
【点睛】本题难度较高，考查了角平分线的定义、角的和差倍分，根据题意划分各种情形是解题关键.