2023年人教版数学八年级上册《13.3 等腰三角形》分层练习（含答案）

2023年人教版数学八年级上册

《13.3 等腰三角形》分层练习

基础巩固练习

一              、选择题

1.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为(　　)

A.2 cm         B.4 cm        C.6 cm          D.8 cm

2.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于(    )

A.2∶1                      B.1∶2        C.1∶3          D.2∶3

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(     )

A.BD＝CE                       B.AD＝AE                       C.DA＝DE                      D.BE＝CD

4.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是(     )

A.105°                       B.120°                      C.135°                      D.150°

5.下列推理错误的是(    )

A.在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形

B.在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形

C.在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形

D.在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形

6.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为(　　)

A.21         B.21或27          C.27           D.25

7.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(     )

A.102°         B.100°        C.88°          D.92°

8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心、以大于EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则∠BDC为(　　)度.

A.65        B.75        C.80        D.85

二              、填空题

9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝10，则BC的长为　     　.

10.已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝　  　.

11.如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是　     　.

12.如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝________，∠CBD＝________.

13.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是　     　.

14.已知点D是△ABC的边AB上一点，且AD＝BD＝CD，则∠ACB＝     .

三              、解答题

15.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．

16.如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形.

17.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.

求证：△CDE是等边三角形.

18.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F.

(1)求证：BD＝CE；

(2)求锐角∠BFC的度数.

能力提升练习

一              、选择题

1.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于(    )2

A.6 cm                                       B.5 cm          C.4 cm                                           D.3 cm

2.给出下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.

其中是等边三角形的是(     )

A.①②③     B.①②④     C.①③       D.①②③④

3.以下说法中，正确的命题是(    )

(1)等腰三角形的一边长为4 cm，一边长为9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；

(2)三角形的一个外角等于两个内角的和；

(3)有两边和一角对应相等的两个三角形全等；

(4)等边三角形是轴对称图形；

(5)如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形.

A.(1)(2)(3)      B.(1)(3)(5)         C.(2)(4)(5)      D.(4)(5)

4.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为(   )

A.75°       B.76°      C.77°      D.78°

5.如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形.满足条件的点C有(　　)

A.2个    B.4个    C.6个    D.8个

6.如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(    )

A.当∠B为定值时，∠CDE为定值

B.当α为定值时，∠CDE为定值

C.当β为定值时，∠CDE为定值

D.当γ为定值时，∠CDE为定值

二              、填空题

7.如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是________三角形.

8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝9cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则MN的长为        .

9.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F.若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为　 　.

10.如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的)后得到图③……记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1＝            ．

三              、解答题

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．

12.如图，已知在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F(或AC延长线).

(1)求证：AE＝AF；

(2)求证：BE＝CF；

(3)求AE的长.

13.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．

(1)求BC的长；

(2)求证：BD＝CD．

答案

基础巩固练习

1.A.

2.B

3.C

4.B

5.B

6.C.

7.D

8.B.

9.答案为：5.

10.答案为：60°；

11.答案为：等边三角形；

12.答案为：90°，30°

13.答案为：9.

14.答案为：90°.

15.解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ACB＝∠ABC＝72°，

∴∠A＝36°．

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°－36°＝54°．

16.证明：∵DF⊥AC，

∴∠DFA=∠EFC=90°.

∴∠A=∠DFA﹣∠D，∠C=∠EFC﹣∠CEF，

∵BD=BE，

∴∠BED=∠D.

∵∠BED=∠CEF，

∴∠D=∠CEF.

∴∠A=∠C.

∴△ABC为等腰三角形.

17.证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC，

∴∠ABE＝∠ADC.

又CE∥AB，

∴∠BEC＝∠ABE.

∴∠BEC＝∠ADC.

又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC，

∴△BCE≌△ACD.

∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°.

∴△CDE是等边三角形.

18.证明：(1)∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AE＝AD、AB＝AC，

又∵∠EAD＝∠BAC＝60°，∠EAD＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，

即∠DAB＝∠EAC，

在△EAC和△DAB中，

∴△EAC≌△DAB，

即可得出BD＝CE.

(2)解：由(1)△EAC≌△DAB，可得∠ECA＝∠DBA，

又∵∠DBA＋∠DBC＝60°，在△BFC中，∠ECA＋∠DBC＝60°，∠ACB＝60°，

则∠BFC＝180°﹣∠ACB﹣(∠ECA＋∠DBC)＝180°﹣60°﹣60°＝60°.

能力提升练习

1.D

2.D.

3.D

4.D

5.D.

6.B

7.答案为：等边.

8.答案为：3cm.

9.答案为：8.

10.答案为：()n-1.

11.证明：过点F作FG⊥AB于点G．

∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴∠ABF＝45°．

∵FG⊥AB，

∴∠AGF＝∠BGF＝90°．

在△AGF和△BGF中，

∵

∴△AGF≌△BGF(AAS)，

∴AF＝BF．

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF＋∠C＝90°．

∵BF⊥AC，

∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，

∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，

∵

∴△AEF≌△BCF(ASA)．

12.证明：(1)∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

在Rt△AED与Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，

∴AE＝AF；

(2)证明：连接BD，CD.

∵点D在BC的垂直平分线上，

∴DB＝DC；

在Rt△DCF与Rt△DBE中，

，

∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，

∴CF＝BE；

(3)解：∵AB＝8cm，AC＝4cm，CF＝BE，AE＝AF＝AC＋CF，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＋CF＝AC＋2BE，

∴BE＝2cm，

∴AE＝AB﹣BE＝6cm.

13.解：(1) 在△ABC中，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∵∠BAD＝15°，

∴∠CAD＝30°，

∵CE⊥AD，CE＝5，

∴AC＝10，

∴BC＝10；

(2)证明：过D作DF⊥BC于F

在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，

∴∠ACD＝75°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCD＝15°，

在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，

∴∠ACE＝60°，

∴∠ECD＝∠ACD-∠ACE＝15°，

∴∠ECD＝∠FCD，

∴DF＝DE．

∵在Rt△DCE与Rt△DCF中，

DC＝DC，DE＝DF.

∴Rt△DCE≌Rt△DCF(HL)，

∴CF＝CE＝5，

∵BC＝10，

∴BF＝BC-CF＝5，

∴BF＝FC，

∵DF⊥BC，

∴BD＝CD．