初中数学2.1 有理数精练

这是一份初中数学2.1 有理数精练，共15页。

2.1有理数
知识点管理
瞄准目标，牢记要点

归类探究
夯实双基，稳中求进
1
正数和负数的概念
正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。


题型一：正数和负数的意义
【例题1】（2020·陕西西安市·七年级期末）如果表示零上5℃，那么零下10℃可记为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】正数和负数表示相反意义的量，零上记为正，可得零下的表示方法．
【详解】解：如果零上5℃记作+5℃，那么零下10℃记作-10℃，
故选：D．
【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
变式训练
【变式1-1】（2020·浙江杭州市·七年级期末）如果收入34元记作元，那么支出20元记作（）元．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以如果收入34元记作+34元，
那么支出20元记作-20元．
故选：D．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【变式1-2】（2020·灌云县远扬双语学校七年级月考）如果规定向东走为正，那么“－2米”表示： ______．
【答案】向西走2米
【分析】根据正负数的意义找到表示正数的量，再找到与它相反意义的量即可得到答案．
【详解】解：如果规定向东走为正，那么“-2米”表示的意义是向西走2米．故答案为：向西走2米．
【点睛】本题考查正负数的意义，正数与负数表示相反意义的两个量，关键在于看清规定哪一个为正，则和它相反意义的量即为负．
【变式1-3】（2019·浙江温州市·七年级期中）某天瓯海区天气预报显示：最高气温是零上，最低气温是零下．我们把零上记为，那么零下可记为____．
【答案】-1
【分析】根据题意可知气温零上为正，气温零下记为负，即可得出答案．
【详解】解：零上6℃记为+6℃，那么零下1℃可记为-1℃，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意
2
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃


题型二：具有相反意义的量表示
【例题2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）下列选项中，具有相反意义的量是（）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
【答案】A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：A、胜2局与负3局具有相反意义的量，符合题意；
B、前进与后退具有相反意义，但没有量，故不符合题意；
C、盈利与支出不具有相反意义，故不符合题意；
D、东和北不具有相反意义，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
变式训练
【变式2-1】（2020·浙江七年级期末）在下列选项中，具有相反意义的量是（）
A．向东行30米和向北行30米 B．2个老师和2个学生
C．走了100米和跑了100米 D．收入20元和支出30元
【答案】D
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：A．向东与向北不具有相反意义，故此选项不符合题意；
B．老师与学生不具有相反意义，故此选项不符合题意；
C．走了100米与跑了100米不具有相反意义，故此选项不符合题意；
D．收入20元与支出30元是具有相反意义的量，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
【变式2-2】（2020·兴化市板桥初级中学七年级月考）如果盈利350元记作+350元，那么亏损80元记作_____元．
【答案】
【分析】根据相反意义的量的定义即可得．
【详解】因为盈利和亏损是一对相反意义的量，
所以亏损80元记作元，故答案为：．
【变式2-3】（2020·广西河池市·中考真题）如果收入10元记作元，那么支出10元记作（）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】根据正负数的含义，可得：收入记作“+”，则支出记作“-”，据此求解即可．
【详解】如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作-10元．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．



题型三：正负数在实际生活中的应用
【例题3】（2019·浙江温州市·七年级期中）某种零件，标明要求是是（表示直径，单位：毫米），则以下零件的直径合格的是（）毫米
A．200.30 B．200.03 C．199.97 D．199.70
【答案】C
【分析】是（表示直径，单位：毫米），知零件直径最大是200+0.02=200.02，最小是200-0.05=199.95，合格范围在199.95毫米和200.02毫米之间．
【详解】解：根据标明要求是是（表示直径，单位：毫米），
合格范围在199.95毫米和200.02毫米之间，
199.97mm在合格范围之间．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正数和负数在实际生活中的应用．理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式训练
【变式3-1】（2020·浙江杭州市·七年级期末）某图纸上注明：一种零件的直径是，下列尺寸合格的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98，
∴零件的直径的合格范围是：29.98≤零件的直径≤30.03，
∵30.01在该范围之内，
∴合格的是D，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．


【变式3-2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的是（）
A．28.30千克 B．27.70千克 C．28.51千克 D．27.80千克
【答案】D
【分析】根据有理数的加法，可得合格范围，根据合格范围，可得合格产品．
【详解】解：面粉中合格的合格范围是27.75~28.25千克，
A、28.30千克＞28.25千克，故A不符合题意；
B、27.70千克＜27.75千克，故B不符合题意；
C、28.51千克＞28.25千克，故C不符合题意；
D、27.75＜27.80＜28.25千克，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正数和负数，求出合格范围是解题关键．
【变式3-3】（2020·浙江七年级期中）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少．
【详解】解：∵超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.4）kg的字样，
∴标准大米的质量最多相差：0.4−（−0.4）＝0.4＋0.4＝0.8（kg），
故选：D．
【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
题型四：有关正数负数的计算应用
【例题4】（2021·福建三明市·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：－11，－6，－2，＋4，＋10
（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
【答案】（1）175个；（2）21个；（3）820个．
【分析】（1）用165加上超过的最大的数字+10，即可解题；
（2）用超过的最大数字+10，减去少于165最多的数字-11即可；
（3）先用，再将超过和不足165的所有数字相加计算即可．
【详解】解：（1）（个）
答：1分钟最多跳175个．
（2）10－（－11）＝21（个）
答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个．
（3）（个）
答：累计跳绳820个．
【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式训练
【变式4-1】（2020·贵阳市清镇养正学校七年级月考）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0
（1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？
（2）这个小组的达标率是多少？
【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5%
【分析】（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩；
（2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答．
【详解】解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36．
（2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．
【点睛】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键．



【变式4-2】（2021·甘肃酒泉市·七年级期末）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）：
+10，﹣9，+7，﹣15，+6，﹣14，+4，﹣2
（1）A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.12升，油箱中有10升油摩托车能否最后返回岗亭？
【答案】（1）A在岗亭南方，距岗亭13千米处；（2）能返回，见解析
【分析】（1）将各数相加，得数若为负，则A在岗亭南方，若为正，则A在岗亭北方；
（2）将各数的绝对值相加，求得摩托车共行驶的路程，即可解答．
【详解】解：（1）+10﹣9+7﹣15+6﹣14+4﹣2
＝10+7+6+4﹣9﹣15﹣14﹣2
＝﹣13（千米）．
答：A在岗亭南方，距岗亭13千米处；
（2）|+10|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|+6|+|﹣14|+|+4|+|+|﹣2|+|﹣13|
＝10+9+7+15+6+14+4+2+13
＝80（千米），
0.12×80＝9.6（升），
9.6＜10
答：能返回．
【点睛】本题主要考查数轴，正数和负数的应用，解决此类问题时，要特别注意第(2)小题，无论向南行驶还是向北行驶，都是要耗油的．
【变式4-3】（2021·浙江宁波市·七年级期末）杨梅生津止渴营养丰富，深受人们的喜爱．宁波是杨梅的产地之一，某果农摘了5筐杨梅，若塑料筐质量忽略不计，每筐杨梅以为标准，超过的千克数记为正数，不足的干克数记为负数，记录如下

（1）这5筐杨梅中，质量最大的一筐是___________，它比质量最小的一筐重___________．
（2）这5筐杨梅的总质量为多少千克？若每千克杨梅售价为15元，则这5筐杨梅的总价为多少元？
【答案】（1）11，3；（2），735元
【分析】（1）用最大数减去最小数即可得到答案；
（2）根据有理数加法可得到答案．
【详解】解：（1） ∵-2＜-0.5＜0＜0.5＜1，
∴第一框最轻，第五框最重．
∵10-2=8,10+1=11，
∴11-8=3，
∴这5筐杨梅中，质量最大的一筐是11，它比质量最小的一筐重3．
故答案为：11，3．
（2）


（元）
答：5筐杨梅总质量为，总价为735元．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是有理数的加法运算．
3
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。



题型五：有理数的概念
【例题5】（2020·浙江杭州市·七年级期末）在下列各数中，负分数有（）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负分数的意义，可得答案．
【详解】解：负分数有：，，，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
变式训练
【变式5-1】（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（）
A．正数和负数统称为有理数 B．正整数包括自然数和零
C．零是最小的整数 D．非负数包括零和正数
【答案】D
【分析】按照有理数的分类进行选择．
【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；
B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；
C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；
D、非负数包括零和正数；故本选项正确；
故选：D．
【变式5-2】（2019·海南鑫源高级中学七年级期中）某人的身份证是 469003200712018617 ，则这个人出生的年、月、日是_____
【答案】2007年12月01日
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由某人的身份证是 469003200712018617 ，则这个人出生的年、月、日是2007年12月01日；
故答案为2007年12月01日．
【点睛】本题主要考查有理数的意义，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．
【变式5-3】（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
【答案】4．
【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
4
有理数的分类


题型六：有理数分类
【例题6】20．（2021·全国七年级专题练习）把下列各数填入它所属的括号内：15，−，－5，，0，－5.32，37%
（1）分数集合{　　　　　　　　…}；
（2）整数集合{　　　　　　　　…}．
【答案】（1）分数集合{−，，－5.32，37%…}；（2）整数集合{15，－5，0，…}．
【分析】（1）按照有理数的分类找出分数即可；
（2）按照有理数的分类找出整数即可．
【详解】解：（1）分数集合{−，，－5.32，37%…}；
（2）整数集合{15，－5，0，…}．
【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是明确分数和整数的定义，准确进行分类．
变式训练
【变式6-1】（2020·浙江七年级单元测试）把下面的数填入它所属于的集合的大括号内（填序号）
①，②，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧
正数集合｛｝
整数集合｛｝
分数集合｛｝
有理数集合｛｝
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类填空．
【详解】解：-|-3|=-3，-（-1.8）=1.8．
正数集合{②③⑧}
整数集合{②④⑥⑦}
分数集合{①③⑤⑧}
有理数集合{①②③④⑤⑥⑦⑧}．
【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【变式6-2】（2020·贵阳市清镇养正学校七年级月考）下列语句中正确的有 （）
① 所有整数都是正数；② 所有正数都是整数；③ 自然数都是正数；④ 分数是有理数；⑤ 在有理数中除了正数就是负数．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据有理数的分类及相关概念可直接进行排除选项．
【详解】解：①所有整数都是正数，错误，比如-1；②所有正数都是整数，错误，比如0.5；③自然数都是正数，错误，比如0；④分数是有理数，正确；⑤在有理数中除了正数就是负数，错误，还有零；
∴正确的有一个；
故选A．
【变式6-3】（2021·全国七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的大括号里．
13，3.1415，﹣31，﹣21%，，0，﹣0.216，﹣2020
整数：{　　…}；
正整数：{　　…}；
负分数：{　　…}；
负整数：{　　…}．
【答案】13，﹣31，0，﹣2020；13；﹣21%，﹣0.216；﹣31，﹣2020
【分析】依题意，根据整数、正整数、负分数、负整数的定义把有关的数填入相应的集合即可．
【详解】由题知：整数：{13，﹣31，0，﹣2020…}；
正整数：{13…}；
负分数：{﹣21%，﹣0.216…}；
负整数：{﹣31，﹣2020…}．
故填：13，﹣31，0，﹣2020；13；﹣21%，﹣0.216；﹣31，﹣2020．
【点睛】本题考查对数的分类，难点在熟练的理解数分类之间依据
题型7：含有“非”字的有理数
【例题7】（2020·广东珠海市·梅华中学七年级期中）在，2.3，0，，五个数中，非负的有理数共有（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】找出五个数中的非负有理数即可．
【详解】在，2.3，0，，五个数中，非负的有理数有：2.3，0共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握非负有理数的定义是解本题的关键．
变式训练
【变式7-1】（2020·宁津县育新中学七年级期中）已知下列各数-8， 2.1，， 3， 0，﹣2.5， 10， -1中，其中非负数的个数是（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】非负数包括正数和0，选出即可．
【详解】解：非负数有2.1，，3，0，10，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，正数、负数，能理解非负数的意义是解此题的关键，注意：非负数包括正数和0．
【变式7-2】（2019·海南鑫源高级中学七年级期中）在数－23，5，，0，4，，5.2中，是整数的_____；非正数集合____
【答案】-23，5，0，4， -23，0
【分析】整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数；比0大的数是正数，非正数即0与负数，据此解题．
【详解】解：在数－23，5，，0，4，，5.2中，
整数的有：-23，5，0，4；
非正数的有：-23，0，
故答案为：-23，5，0，4；-23，0．
【点睛】本题考查有理数的分类、带“非”字的有理数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5
0表示的意义0表示的意义：①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数和负数分界．


题型8：0表示的意义
【例题8】（2021·四川成都市·七年级期中）零一定是（）
A．整数 B．负数 C．正数 D．奇数
【答案】A
【分析】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数．
【详解】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数，只有A选项符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了零的相关知识，熟记并理解是解决本题的关键．
变式训练
【变式8-1】（2020·浙江七年级其他模拟）下面结论错误的是（）
A．零是整数 B．零不是整数 C．零是自然数 D．零是有理数
【答案】B
【分析】由于零是有理数，也是整数，还是自然数，由此可分别进行判断．
【详解】解：A、零是整数，所以A选项的说法是正确的；
B、零不是整数，所以B选项的说法是错误的；
C、零是自然数，所以C选项的说法是正确的；
D、零是有理数，所以D选项的说法是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确有理数的相关概念．
【变式8-2】（2020·苏州市吴江区铜罗中学七年级月考）下列说法错误的是（）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C．是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【答案】D
【分析】根据有理数0的特殊性质解答．
【详解】解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，
B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数和负数分界．
【变式8-3】（2020·武汉市梅苑学校七年级期中）下列结论正确的是（）
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【分析】根据0的概念逐项判断即可得．
【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误；
B、不是正数，则此项错误；
C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；
D、既不是正数也不是负数，则此项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键．