第22章 二次函数（单元测试·基础卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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第22章 二次函数（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点一】二次函数的解析式
一般式：(a、b、c是常数，)；
顶点式：()，二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
【知识点二】二次函数的图象与性质






开口
方向
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h

顶点
与
最值
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)

a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或)；
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或).
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
对称性
1.图象是轴对称图形；
2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当时，，对称轴为y轴；
当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3) c决定抛物线与轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【知识点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
【知识点五】二次函数与一元二次方程
二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点六】二次函数与不等式
（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.
【知识点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数与自变量的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中，，，均为常数）














甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
2．已知实数a，b，c，d同时满足，则代数式的最小值是（    ）
A． B． C． D．
3．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像过，，且当时，对应的函数值．若点和在该二次函数的图像上，则当实数时，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为（    ）
A． B． C． D．
5．已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．
6．如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（    ）

A． B． C． D．
7．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是二次函数y＝x2﹣2x+1图象上的一系列点，其中x1＝1，x2＝2，…，xn＝n，…，记A1＝x1+y2，A2＝x2+y3，…，An＝xn+yn+1（n为正整数），令S＝+…+，则S的值是（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，平行于x轴的直线l在x轴上方，与该抛物线交于不同两点，与直线交于点．若整数m满足等式，则m为（    ）
A．1或2 B．0或1或2 C．或0或1 D．0或1
9．平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数与函数的图象的公共点的个数分别为（    ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3
10．如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（     ）
  
A．   B．   C．   D．  
二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ．
12．已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，，则四边形的周长为 ．
13．抛物线交x轴负半轴于点A，点B是抛物线上一动点，且点B在第二象限，以AB为边，作等腰直角三角形ABP.其中，当点Р恰好在y轴上时，点Р的坐标为 .
14．如图所示，设铁路，B，C之间距离为12，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，单位距离公路费用为4，在上的点M处修筑公路至C，使运费由A到C最省，则当的值为 时，运费最少为 ．

15．已知关于x的多项式，二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足．若当和（t为任意实数）时的值相同；当时，的值为2，则二次项系数a的取值范围是 ．
16．将二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
17．对于二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4．下列说法正确的有： （填序号）
①函数图象开口向下；
②当x≥m时，y随x的增大而减小；
③函数图象过定点（﹣3，﹣11）；
④若不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
  
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，二次函数，与时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得最大．
（3）点Q是抛物线上x轴上方一点，若，求Q点坐标．

20．（8分）已知二次函数，当时， 时，，
（1）求b与c的值．
（2）当x取何值时，
（3）抛物线上有两点，，当时，直接写出a的取值范围．






21．（10分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价（元）与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价（元）与月份的关系为．
（1）①求与之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2） 若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？







22．（10分）如图是一个倾斜角为的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端到地面的距离为．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头到地面的距离为，水珠在距喷头水平距离处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中喷出水珠的竖直高度为（单位：）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与的水平距离为（单位：）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）斜坡正中间有一棵高的树苗，通过计算判断从喷头喷出的水珠能否越过这棵树苗．
（3）若有一个身高为的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头的水平距离应在什么范围内？




23．（10分）如图，点，，均在抛物线上，点在轴上，且，绕点顺时针旋转后两边与轴、轴分别相交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若是等腰三角形，求点的坐标．

24．（12分）已知二次函数（为常数，）．
（1）求证：无论取任何实数时，函数与轴总有交点；
（2）若为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数．
①已知，是该函数图象上的两点，且，求实数的取值范围；
②将抛物线向右平移个单位，与轴的两个交点分别为，，若，请结合图象直接写出的取值范围．
































参考答案
1．A
【分析】根据表格数据得出与的数据正确，进而得出，对称轴为直线，判断甲正确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
解：根据表格可知，与时的函数值相等，
当时，，时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线，即
∵
∴当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则，
∵对称轴为，当时，
∴当时，
即当时，是方程的一个根；
若时，则，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】设，原式进行变形后利用二次函数的性质计算求解．
解：∵，
∴，
∴，
设，
原式=
∴当时，原式有最小值为
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的最值是解题关键．
3．B
【分析】由题意可知二次函数对称轴为，开口向下，点离对称轴的距离越远，函数值越小，当即时，分别计算出、到对称轴的距离进行比较；当即时，分别计算出、到对称轴的距离进行比较．
解：二次函数的图像过，，
则二次函数的对称轴为：
当时，对应的函数值，
则二次函数的开口向下，
点离对称轴的距离越远，函数值越小，


当即时，
到对称轴的距离，
到对称轴的距离，
，
；
当即时，
到对称轴的距离，
到对称轴的距离，
，
，
综上所述：，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性、增减性、二次函数函数图像和性质；熟练掌握二次函数函数图像和性质是解题的关键．
4．B
【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．
解：如图：

设点，
则：直线的表达式为：
直线的表达式为：
直线的表达式为：
，
过点分别作轴垂线，交轴于点
则：∽


则直线的表达式为：
直线必过点
当与轴平行时，边上的高有最大值，为
故选B
【点拨】本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键．
5．C
【分析】将点代入即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
解：把代入，
得，
∴，

∴当时，y有最大值为6；
①当时，
当时，y有最小值为，
当时，y有最大值为
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴，
∴或（舍去）。
②当时，
当时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为，

∴或舍去）
综上所述：或
故选：C
【点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出m的取值范围．
6．B
【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（，），求出直线AQ的解析式为，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案．
解：∵抛物线过A点、B点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
同理可得抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（，），
设直线AQ的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AQ的解析式为，
∵P在直线AQ上，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
7．A
【分析】首先根据二次函数图象上点的特征分别求出A1、A2……An的值，进而利用裂项相消求出结果.
解：∵是二次函数y=x2-2x+1=上的系列点，
x1=1，x2=2，……xn=n，
∴，
，
……
，
∴



；
故选择A.
【点拨】本题考查二次函数图象上点的特征，利用裂项相消计算是解决问题的关键.
8．D
【分析】根据抛物线解析式求出A，B坐标，在用待定系数法求出直线的解析式，设平行于x轴且在x轴上方的直线为，得出P点坐标与n的关系，再联立与得出，由得出n的取值范围，再由根与系数的关系得出m的取值范围，即可求出m的值．
解：∵，
∴顶点坐标为，
令，则，
∴，
令，则，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设平行于x轴且在x轴上方的直线为，
则满足，
∴，，
联立，
得，
∵抛物线与有两个不同交点，
∴，
解得：，
∵，，
∴
即
∵，
∴，
∴，
∴观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，解题的关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
9．A
【分析】根据题意得出直线与二次函数以及的交点，作出图像，即可求解．
解：如图所示，


即
即，
当，
即时，，
解得：,
则交点坐标为
∵是由向右移动4个单位，
则当时，与只有1个交点
即当或时，两函数图象公共点的个数为1，当时，2个公共点，当时没有公共点，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数的平移，数形结合是解题的关键．
10．A
【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
①当时，如图，
   ，
，图象开口向上的抛物线的一部分；
②当时，如图，
  
，图象是线段；
③当时，如图，
  
，图象开口向下的抛物线的一部分；
故选：．
【点拨】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是：弄清楚不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．
11．
【分析】根据可以找出点为最高，抛物线顶点为最低点，然后分别计算纵坐标作差即可．
解：，
故抛物线图像对称轴为：直线，
，
，
，
故当时，最大为：，
当时，最小为：，
图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线函数图像与性质，根据的取值范围找出两点间的图像的最低点与最高点是解题关键．
12．
【分析】根据B、D的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是，由对角线互相垂直平分可知四边形是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，然后求出A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可．
解：由题意可知，，则，对称轴都是，
∵两个抛物线的a值是相反的，
∴四边形是菱形，
抛物线的a值确定，抛物线的形状固定，的长度固定，则菱形的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是的中点在原点，
此时对称轴为y轴，，
∴，则，，
将代入可得：，解得，则，
∴，则四边形的周长为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、菱形的判定、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点是解答本题的关键．
13．（0，1）
【分析】根据二次函数解析式画出其图像，过点作轴与轴交于点，过点作轴与轴交于点，根据等腰三角形的性质可证，从而得到，设，则，求解即可得出点的坐标，结果可求．
解：令，
解得或，
，
令时，，
作出抛物线的图像如图：
过点作轴与轴交于点，过点作轴与轴交于点，

为等腰直角三角形，，
，
，

在和中，
，
，
，
设，
则，
解得：或，
点B在第二象限，
舍去，
，

，
，
故答案为：（0，1）．
【点拨】本题考查了二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
14．
【分析】由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，再利用一元二次方程根的判别式可得到答案．
解：设则，
∴
∴上的运费为，上的运费为
∴由A到C的总费用为：
∴
整理得：
由题意可得：方程有实数根，
∴
整理得：
当时，则
显然
所以不符合题意，舍去，
∴时，
所以费用的最小值为：，
此时：
设
整理得：
解得：经检验符合题意，
∴
∴
∴，此时运费为：，
故答案为：；
【点拨】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，利用一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．
15．
【分析】先根据已知化简成关于a的不等式，再利用二次函数图象与不等式的关系解决即可．
解：∵当和（t为任意实数）时的值相同
∴
∴整理得①
∵时，的值为2
∴②
将①代入②得
∴
∵
∴
∴整理得
设
画函数图象如图，由图像知时的图象在x轴下方
∴

【点拨】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，解方程，解不等式等知识点，，熟练掌握其知识是解决此题的关键．
16．
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，则再进行变形得出再代入可得进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
解：二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，
翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，
则





又的纵坐标为，

即该二次函数图像顶点纵坐标为
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的距离是解题的关键．
17．①③④/①④③/③④①/③①④/④①③/④③①
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项进行分析判断即可得到结论．
解：①∵
∴二次函数y＝﹣x2+2（m+1）x+6m+4的图象开口向下，故①正确；
②
∵抛物线的对称轴为直线
又函数图象开口向下
∴当x≥m+1时，y随x的增大而减小，故②错误；
③把x=-3代入
所以，函数图象过定点（﹣3，﹣11），故③正确；
④对于函数的，
所以，的值恒为正值
∵＜0
∴
∴的图象在x轴的下方，
∴
令
解得，，
∵函数的图象开口向上
∴的解集为﹣4﹣＜m＜﹣4+
所以，不等式＜0的解集为全体实数，则﹣4﹣＜m＜﹣4+，故④正确．
故答案为①③④．
【点拨】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握分析图象并结合函数性质解题的能力是解决本题的关键．
18．
【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案；
解：过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，
  
则，
记交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴时，，
∴，
又∵，
设直线的解析式为
∴，
解得=，
∴直线的解析式为，
过点F作轴于点R，
∵D点的横坐标为m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴当时，l的最小值为8，
∴的最小值为．
【点拨】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把与代入，求出t的值，即可；
（2）过点P作轴，交于点D．先求出直线的解析式为，设点，则点D的坐标为，可得，再由
，得到S关于a的函数关系式，即可求解；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，求出直线的解析式，即可求解．
（1）解：∵与时的函数值相等，
∴，
解方程，得，
把代入二次函数，
∴二次函数的解析式为：．
（2）解：如图，过点P作轴，交于点D．
  
把代入，得：
，解得，
∴点A，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点D的坐标为，
∴，
∴，
当时，有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标；
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，则，取的中点H，作直线交抛物线于Q，则，，
  
设直线的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，解得或，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
20．（1），详见分析；（2）当或时，，详见分析；（3）或，详见分析
【分析】（1）由已知得到关于的二元一次方程组，解出b、c即可；
（2）由（1）知：二次函数为，根据函数的增减性即可得出x的取值范围；
（3）根据二次函数图象的增减性和点离对称轴的距离的关系，分类讨论：两点不在对称轴右侧、两点不在对称轴左侧，两点分别在对称轴两侧，分别得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：（1）由题意得，
解得：，
即b与c的值分别为；
（2）由（1）知：二次函数为，
∴二次函数图象的顶点为，开口向上，对称轴是直线，
当时，函数有最小值为；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
∴当或时，．
（3）∵抛物线上有两点，
∴由（2）知：当时，函数有最小值为；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∴当时，则，
有两点不在对称轴右侧时，；
两点不在对称轴左侧时，，
有两点分别在对称轴两侧时，，
∴由解得：；由解得：，
由解得：，而无解，
∴综上所述，当时，a的取值范围是或．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，不等式组的解法等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
21．（1）①；②49元；（2）第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元
【分析】（1）①当时，设与之间的函数关系式为，根据待定系数法即可求解，当时，，以此解答即可；②将分别代入和中，求得售价和进价，再根据“利润＝售价－进价”即可求解；
（2）设每月的利润为，当时，，根据二次函数的性质得当时，取得最大值，最大值为8600元，当时，，根据二次函数的性质可得当时，取得最大值，最大值为16400．
（1）解：①当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
，
当时，；
；
②当时，，
，
第3个月每件服装的利润为（元）；
（2）解：设每月的利润为，
则，
当时，，
该函数的对称轴为直线，
，
在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
当时，取得最大值，最大值为（元）；
当时，，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为（元），
，
第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1）；（2）从喷头喷出的水珠能越过这棵树苗；（3）
【分析】（1）根据三角函数关系得到，再由二次函数对称轴公式得到，然后再利用待定系数法即可解得；
（2）通过比较树苗的最高点与相应位置的抛物线函数值大小关系即可判断结果；
（3）利用表示出对应函数值和小朋友高度值，根据题意列出不等式求解即可；
（1）解：由题意可知，
，
则点D坐标为，
，
，
将点坐标代入得，则
将点坐标代入得
解得，则，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图过中点作垂线交于点，则，，
  
将代入得，
，
从喷头喷出的水珠能越过这棵树苗；
（3）解：如图过上一点作垂线交于点，
  
设，则，，由题意可得
化简得，
因式分解得，解得，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将二次函数与三角函数相结合解决实际问题，列解二次不等式等知识，熟练运用相关知识，并根据题意解决实际问题是解题关键．
23．（1）；（2）能，点的坐标为；（3）点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作轴于点，轴于点，求得顶点坐标，求得直线即的解析式，得出点的坐标，证明，据此求解即可；
（3）证明，求得，分三种情况讨论，即可求解．
（1）解：由抛物线与轴的两个交点，的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为，
然后将点坐标代入得：，
解得：，
故抛物线解析式为；
（2）解：作轴于点，轴于点，
  
，
∴顶点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线即的解析式为，
点坐标为．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴能经过抛物线的顶点，此时点的坐标为；
（3）解：同理求得直线方程为，
作轴于点，轴于点．
  
∵，
∴四边形是正方形，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
则是等腰三角形可以有三种情形：
①．则，，则点坐标为；
②，则点坐标为；
③，设．
∵，即，，
∴，
解得，
∴，
综上，点的坐标为或或．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及到了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，用待定系数法求解析式等，充分考查学生的综合运用能力和数形结合的思想方法．
24．（1）见分析；（2）①实数的取值范围为或；②
【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先根据为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，求出的值，即可得到二次函数的解析式，①令，分别求出与的值，由得到不等式，解不等式即可得到答案；②先求出平移后的抛物线的解析式，再求出平移之后的抛物线与轴的交点，即，分别表示出，，代入求出的范围，从而即可得到答案．
解：（1）证明：根据题意可得：
，
无论取任何实数时，函数与轴总有交点；
（2）解：当时，，
，
，即，
，
函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，
，
为正整数，
，
，
①    当时，，
当时，，
，
，
解得：或，
实数的取值范围为：或；
②抛物线的解析式为：，
抛物线向右平移个单位后的解析式为：，
令，则，
解得：，
，，
，
，即，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，二次函数图象的平移，二次函数与轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题．