第22章 二次函数（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第22章 二次函数（单元测试·拔尖卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．关于x的函数是二次函数的条件是（　）

A．      B．      C．      D．

2．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　）

A．      B．      C．       D．

3．已知二次函数，且，则图象一定经过（    ）象限．

A．三、四      B．一、三、四      C．一、二、三、四  D．二、三、四

4．二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（    ）

A．      B．      C．      D．

5．同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ）

A．    B．  C．      D．  

6．坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为（　）

A．17      B．19      C．21      D．24

7．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（　）

A．     B．    C．      D．

8．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（   ）

A．      B．      C．      D．或

9．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ）

A．      B．      C．      D．

10．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：

①的长可以为；

②的长有两个不同的值满足菜园面积为；

③菜园面积的最大值为．

其中，正确结论的个数是（    ）

A．0      B．1      C．2      D．3

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．二次函数的对称轴是直线      ．

12．抛物线的顶点坐标是           ．

13．二次函数的图象经过点，则代数式的值为      ．

14．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是              ；

15．已知二次函数，当时，的取值范围是       ．

16．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为      ．

17．如图，已知二次函数（，为常数，且）的图像与轴交于，两点，若线段的长为4，则的值是      ．

18．如图，二次函数的图像与轴的交于与点，则下列结论正确的是      ．（填序号）

①

②

③抛物线与轴的另一个交点坐标是

④若点，，在抛物线上，则

⑤一元二次方程的

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19．（8分）以下是某同学将二次函数改写成形式的部分运算过程：

解：第①步

第②步

第③步

……

（1）上面的运算过程中，从第_______步开始出现了错误．

（2）请你写出正确的解答过程．

20．（8分）已知二次函数的图象为抛物线C．

（1）抛物线C顶点坐标为 ；

（2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

（3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式．

21．（10分）已知抛物线，求：

（1）这条抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）当x取什么值时，？

（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？

22．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）设每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月获得最大利润？

（2）如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为多少元？；

（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月销售单价不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？

23．（10分）已知抛物线．

（1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；

（2）若点，在该抛物线上，试比较的大小；

（3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

24．（12分）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．

参考答案

1．B

【分析】根据二次函数的定义，形如这样的函数是二次函数，其中a、b、c是常数，直接求解即可得到答案．

解：当，即，则是二次函数．

故选：B．

【点拨】本题考查二次函数的条件，知道二次函数二次项系数不为0是关键．

2．D

【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．

解：∵，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线，

∵点都在该抛物线上，，

∴，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．

3．A

【分析】根据，，，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．

解：∵二次函数中，，，

∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，

∴二次函数的顶点坐标为（0，c），在y轴负半轴，

∴二次函数的图象 经过三、四象限；

故选A．

【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系．

4．C

【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解．

解：由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；

时，，故B错误；

时，，得，故C正确；

故选：C．

【点拨】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．

5．D

【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．

解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误；

B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；

C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误；

D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

6．C

【分析】根据对称轴，结合即可求解．

解：设对称轴与交于点．

.

，

．

对称轴，．，

：：．

：：：：

．

故选：C．

【点拨】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．

7．C

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题的关键．

8．D

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．

解：∵抛物线与直线交于，两点，

由图可知：抛物线在直线上方时，x的范围是：或，

即的解集是或，

故选D．

【点拨】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．B

【分析】通过解方程得，，则两点为，，所以，则，然后进行分数的混合运算即可．

解：当时，，

，

解得，，

∴两点为，，

∴，

∴

．

故选∶B．

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

10．C

【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．

解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得

，

其中，即，

①的长不可以为，原说法错误；

③菜园面积的最大值为，原说法正确；

②当时，解得或，

∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C．

【点拨】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．

11．

【分析】根据二次函数的对称轴为直线计算即可．

解：已知二次函数，，

所以对称轴为直线．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键．

12．

【分析】根据抛物线的顶点坐标为直接写出即可．

解：抛物线的顶点坐标是，

故答案为．

【点拨】本题考查抛物线的顶点求解方法，掌握抛物线的顶点求解方法是解题的关键．

13．

【分析】把代入函数解析式，即可求解．

解：把代入函数解析式，得

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．

14．

【分析】由关于x轴对称的点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可直接得出答案．

解：∵抛物线的图象上的点关于轴对称后横坐标不变，纵坐标变为相反数，

∴得到的抛物线的解析式是，

故答案为：．

【点拨】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴、y轴对称的点的坐标特征．

15．

【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．

解：，

抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，

将代入得，

当时，的取值范围是，

故答案为：．

【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．

16．

【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．

解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，

故答案为：．

【点拨】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．

17．12

【分析】先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标，再根据线段的长为4，列出方程求解即可．

解：令，则，

解得，

∵线段的长为4，

∴，

∴，

解得：，

故答案为：12．

【点拨】本题主要考查了二次函数与x轴交点的问题，正确求出抛物线与x轴两个交点的横坐标是解题的关键．

18．①③④

【分析】根据函数图像可得，，对称轴为直线，由此可判定①；根据图示，令，函数值小于零可判定②；根据点的坐标与对称轴可判定③；根据函数的对称轴，增减性可判定④；根据图像确定二次函数系数的符号可判定⑤；由此即可求解．

解：二次函数的图像与轴的交于与点，且对称轴为，

∴点，，且，，

∴，

∴结论①，

∵，

∴，故结论①正确；

结论②，

根据图示，当时，，故结论②错误；

结论③抛物线与轴的另一个交点坐标是，

∵，对称轴为，

∴，故结论③正确；

结论④若点，，在抛物线上，则，

∵对称轴为，

∴当与时的函数值相等，即，

当时，随的增大而增大，

∵，

∴，

∴，故结论④正确；

结论⑤一元二次方程的，

∵，，，且，

∴，，

∴，故结论⑤错误；

综上所述，正确的有①③④，

故答案为：①③④．

【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握根据图像判定系数的符合，函数值的大小，函数的增减性等知识是解题的关键．

19．（1）②；（2）

【分析】（1）由第② 步前面的系数丢了，所以出现错误；

（2）把第二步改为，再配方即可．

（1）解：上面的运算过程中，从第②步开始出现了错误

（2）解：

．

【点拨】本题考查的是利用配方法把二次函数化为顶点式，熟记配方法的步骤是解本题的关键．

20．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的顶点坐标；

（2）根据二次函数的性质可得出答案；

（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．

（1）解：，

∴抛物线C的顶点坐标为；

故答案为：

（2）解：∵，，

∴抛物线开口向上，

∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，

∴ 当时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1；

当时，；

当时，；

∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；

（3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，且抛物线C的顶点坐标为，

∴抛物线的解析式为．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

21．（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；（2）或；（3）

【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；

（2）求出抛物线与x轴的交点横坐标，再利用增减性求解即可；

（3）根据（2）即可得到答案．

（1）解：∵抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；

（2）解：当时，则，

解得或，

∵，

∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，

∴当或时；

（3）解：由（2）可得当时，y随x的增大而减小．

【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．

22．（1）当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；（2）如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；（3）每月成本最少需要10000元．

【分析】（1）设，把代入即可求出一次函数的解析式，再根据总利润=单件的利润×件数即可求出每月获得利润（元）关于销售单价（元）的函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；

（2）当时，得到，解一元二次方程即可求解；

（3）求出x的取值范围，设成本为S，根据成本=进价×销售量，即可求出S与x的函数关系式，然后利用一次函数的增减性即可求出S的最小值．

（1）解：设，把代入可得，

解得；

∴，

，

∵，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，

∴当时，w有最大值为元，

∴当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；

（2）解：当时，则，

解得：，；

答：如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；

（3）解：设成本为S，

依题意得：，

∴，

∵，

∴S随x增大而减小，

∴时，S有最小值为10000元，

答：每月成本最少需要10000元．

【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．

23．（1）对称轴为；（2）；（3）或

【分析】（1）根据抛物线的交点式可确定抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据对称轴的计算方法即可求解；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴，且抛物线开口向上，根据抛物线的增减性即可求解；

（3）抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，点在线段上，则点不在线段上，由此即可求解．

（1）解：∵抛物线，

∴抛物线开口向上，与轴的两个交点的横坐标为，，

∴抛物线的对称轴为，即对称轴为．

（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，

∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；

∵，

∴．

（3）解：已知点，，

∴线段在轴上，且长为，

∵抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，

∴点在线段上，

∵抛物线与线段只有一个公共点，

∴点不在线段上，

∴或，

∴或．

【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，二次函数与线段交点，解一元一次不等式等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．

24．（1）；（2）

【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得，，代入抛物线解析式即可求解；

（2）根据抛物线解析式求得顶点的坐标，勾股定理求得的长，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．

（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，

当时，；当时，

∴，；

∵抛物线经过、两点，

∴

解得：

∴抛物线解析式为；

（2）解：∵

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是直角三角形，

∴．

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．