专题22.39 二次函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题22.39 二次函数（全章直通中考）（基础练）
【要点回顾】
【要点一】二次函数的解析式
一般式：(a、b、c是常数，)；
顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
【要点二】二次函数的图象与性质






开口
方向
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h

顶点
与
最值
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)

a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)；
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或).
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
对称性
1.图象是轴对称图形；
2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1)的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.
(2)、b的符号共同决定对称轴的位置
当时，，对称轴为y轴；
当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【要点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：

（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【要点五】二次函数与一元二次方程
二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【要点六】二次函数与不等式
（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.
【要点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ）
A． B． C．0 D．2
3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）
  
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
4．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
6．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
7．（2023·河南·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）
  
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ）
A． B． C． D．
9．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（    ）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023·山东泰安·统考中考真题）二次函数的最大值是 ．
12．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
14．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ．
15．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．
  
16．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
  
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．
  
18．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．

三、解答题
19．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．


20．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线经过点和．
（1）求、的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．





21．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．








22．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？






23．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？







24．（2016·湖南怀化·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

























参考答案
1．B
根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点拨】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．
解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，
∴对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
∴a，b异号，
故选C．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
4．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
5．D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
6．C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
8．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点拨】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
11．
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
解：利用配方法，将一般式化成顶点式：

二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当时，最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．
12．2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点拨】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
13．9
【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式．
14．2
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
解：点在上，
∴，
，
解得：（舍去）
故答案为：2．
【点拨】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
15．4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，，即，
∵轴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴；
故答案为：4
【点拨】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
16．15
【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．
解：设为，面积为，
由题意可得：，
当时，取得最大值，
即时，羊圈的面积最大，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
17．10
【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．
解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键．
18．/2.25米/米/m/米/m
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长．
解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则．
故水管长度为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
19．（1）抛物线的解析式为；（2）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．
解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（1），；（2）
【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；
（2）将，按题目要求平移即可．
解：（1）将点和代入抛物线得：

解得：
∴，
（2）原函数的表达式为:，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：

解得：
直线为
把代入得：

把代入：
，

（2）设 轴，
则 由＜＜，



即当时，

【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）；（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
（1）解：设一次函数的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴求y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：

，
∴当时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键．
23．（1）种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点拨】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
24．（1）y=﹣x2+x+5；（2）0＜n＜3；（3）PC的长为7或17．
解：试题分析：（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式即可；（2）可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负半轴上和在y轴正半轴上两种情况，根据这两种情况分别求得PC的长即可.
解：（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+5；
（2）∵y=﹣x2+x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，），
∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，
令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，
由题意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，
设PD=AD=m，则CD=AC+AD=+m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴，即，
解得m=，PC=17；
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，
则∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，
综上可知PC的长为7或17．

考点：二次函数综合题.