数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词当堂达标检测题

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1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
2．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是( )
A．∀x∈R,2x＋1>0
B．若2x为偶数，则x∈N
C．菱形的四条边都相等
D．π是无理数
3．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R,2x－10＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0
4．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使4－x2＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．至少有一个正整数是偶数
D．有的有理数没有倒数
5．下列命题中形式不同于其他三个的是( )
A．∀x∈Z，x2－9B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0
C．每一个正数的倒数都大于0
D．∀x<2，x－3<0
6．(多选)下列命题中是存在量词命题的是( )
A．有些自然数是13的约数
B．正方形是菱形
C．能被6整除的数也能被3整除
D．存在x∈R，使得|x|≤0
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为__________．
8．若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是________．
9．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．
(1)对所有的正实数t，eq \r(t)>0且eq \r(t)(2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；
(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
10．已知命题“∃－3≤x≤2,3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
11．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
12．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．∃x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C．∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数
D．∃a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2<0
13．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1 B．a<－1
C．a≥－1 D．a≤－1
14．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．
15．能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
16．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}，
(1)“∀x∈M，x＋1>0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)“∃x∈M，x＋1>0”成立，求实数a的取值范围．
§1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
1．C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.AD
7．∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
8．a>eq \f(1,4)
9．解 (1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则eq \r(t)(2)为存在量词命题，且为真命题，
因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0，
所以存在实数x，
使得x2－3x－4＝0.
(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x－4y－5>0成立．
(4)为全称量词命题，且为真命题．
10．解 由3a＋x－2＝0，
得3a－2＝－x，
∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤eq \f(5,3)，
故实数a的取值范围是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a≤\f(5,3))))).
11．B 12.ABC 13.B 14.a≤3
15．(2,4)(答案不唯一)
16．解 (1)∀x∈M，x＋1>0是真命题，即a＋1>0，解得a>－1，
所以实数a的取值范围是a>－1.
(2)“∃x∈M，x＋1>0”成立，
即a＋1＋1>0，解得a>－2，
所以实数a的取值范围是a>－2.