新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第4章 4.4.3 不同函数增长的差异(2份打包，原卷版+教师版)

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4.4.3　不同函数增长的差异
学习目标　
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
3.能根据具体问题选择合适函数模型.

知识点　三种常见函数模型的增长差异
函数 性质
y＝a
x(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
思考　在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax0，x>x0时，logaxx100.(　×　)
4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1).(　×　)

一、几个函数模型增长差异的比较
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A.y＝2 020x B.y＝x2 020 C.y＝log2 020x D.y＝2 020x
答案为：A
解析：比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.


(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
答案为：y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
反思感悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.可称为“对数增长”.
跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x2 D.y＝6x
答案为：B
解析：D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
二、函数模型的选择问题
例2　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解　根据题意可列方程组解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，
g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
跟踪训练2　某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　)
A.y＝0.2x B.y＝(x2＋2x) C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
答案为：C
解析：对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.63时，x＋5