新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 §3.2.2 函数的奇偶性(2份打包，原卷版+教师版)

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3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
学习目标　
1.了解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.

知识点　函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有﹣x∈I，且f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有﹣x∈I，且f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称

思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
答案为：定义域关于原点对称.
特别提醒　理解函数的奇偶性应关注三点
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(﹣x)＝﹣f(x)[或f(﹣x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.
(3)若f(﹣x)＝﹣f(x)，且f(﹣x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集.

1.f(x)是定义在R上的函数，若f(﹣1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数.(　 　)
2.函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数.(　 　)
3.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(﹣x)＝﹣f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　 　)
4.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　 　)
5.若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　 　)
6.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.(　 　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2﹣|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝










反思感悟　判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(﹣x)是否等于±f(x)，或判断f(﹣x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2).












二、奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.

(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.









反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
延伸探究
1.本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？


2.若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？









跟踪训练2　定义在[﹣3，﹣1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小.






三、利用函数的奇偶性求值
例3　(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.

(2)已知函数f(x)＝x7﹣ax5＋bx3＋cx＋2，若f(﹣3)＝﹣3，则f(3)＝________.
反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(﹣x)＝﹣f(x)或f(﹣x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(﹣x)＝﹣f(x)或f(﹣x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则
f(f(﹣2))＝________.








1.函数y＝f(x)，x∈[﹣1，a](a>﹣1)是奇函数，则a等于(　　)
A.﹣1 B.0 C.1 D.无法确定

2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)


3.(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x2 C.y＝ D.y＝x|x|

4.若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(﹣2)＝________.

5.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________.

1.知识清单：
(1)函数奇偶性的概念.
(2)奇函数、偶函数的图象特征.
2.方法归纳：特值法、数形结合法.
3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.


1.(多选)下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝

2.已知y＝f(x)，x∈(﹣a，a)，F(x)＝f(x)＋f(﹣x)，则F(x)是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2﹣x，则f(1)等于(　　)
A.﹣ B.﹣ C. D.

4.函数f(x)＝﹣x的图象(　　)
A.关于y轴对称 B.关于直线y＝x对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝﹣x对称

5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(﹣2)＋f(﹣1)的值为(　　)

A.﹣2 B.2 C.1 D.0

6.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.

7.已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________.

8.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(﹣x)＝0；②f(x)﹣f(﹣x)＝2f(x)；③f(x)·f(﹣x)<0；④＝﹣1.
其中一定正确的为________.(填序号)

9.已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(1)若f(1)＝3，求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明.








10.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；

(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.








11.函数f(x)＝是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

12.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

13.已知定义域为[a﹣4,2a﹣2]的奇函数f(x)＝2 020x3﹣5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________.

14.设奇函数f(x)的定义域为[﹣6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________.





15.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(﹣a)＝________.

16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(﹣3)＝a，试用a表示f(12).
















第2课时　奇偶性的应用
学习目标　
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.

知识点一　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[﹣b，﹣a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出﹣f(x)或f(﹣x)，从而解出f(x).
知识点二　函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a 思考　若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[﹣b，﹣a]∪[a，b]上单调递增吗？
答案为：不一定.如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[﹣2,0]∪[0,2]＝[﹣2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝﹣在[1,3]上单调递增，但在[﹣3，﹣1]∪[1,3]上不单调递增.

1.若f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(﹣2)________f(1).(填“>”“＝”或“<”)

2.若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(﹣1)________f(1).(填“>”“＝”或“<”)

3.若奇函数f(x)在区间[﹣4，﹣2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________.

4.函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.



一、利用函数的奇偶性求解析式
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2﹣2x＋3，求f(x)的解析式.







(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.







延伸探究
1.在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.






2.在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式.






反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为﹣x，此时﹣x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为﹣x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练1　(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝﹣x2﹣x，求函数f(x)的解析式.








(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x﹣1，当x∈(﹣∞，0)时，求f(x)的解析式.








二、利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例2　设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(﹣x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(﹣2)，f(π)，f(﹣3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) B.f(π)>f(﹣2)>f(﹣3)
C.f(π)
反思感悟　比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
跟踪训练2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(﹣5)________f(3).(填“>”或“<”)
三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(﹣∞，0)上单调递增.若f(﹣3)＝0，则<0的解集为________________.
反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式.
(2)转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.
跟踪训练3　设定义在[﹣2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1﹣m)







1.已知偶函数在(﹣∞，0)上单调递增，则(　　)
A.f(1)>f(2) B.f(1)
2.设偶函数f(x)在区间(﹣∞，﹣1]上单调递增，则(　　)
A.f(﹣) C.f(2)
3.如果奇函数f(x)在区间[﹣7，﹣3]上单调递减，那么函数f(x)在区间[3,7]上________.

4.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(﹣∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________.

1.知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式.
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法.
3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.


1.设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(﹣2)等于(　　)
A.6 B.﹣6 C.2 D.﹣2

2.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(﹣∞，0] B.[0，＋∞) C.(﹣∞，＋∞) D.[1，＋∞)

3.一个偶函数定义在区间[﹣7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　)

A.这个函数仅有一个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值﹣7

4.若奇函数f(x)在(﹣∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A.最大值﹣ B.最大值 C.最小值﹣ D.最小值



5.如果奇函数f(x)在区间[﹣3，﹣1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上(　　)
A.单调递增且最小值为﹣5 B.单调递增且最大值为﹣5
C.单调递减且最小值为﹣5 D.单调递减且最大值为﹣5

6.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

7.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x﹣1)>0，则x的取值范围是________.

8.若f(x)＝(m﹣1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(﹣2)从小到大的排列是______________.

9.已知f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数，且f(x)在(﹣1,1)上是减函数，解不等式f(1﹣x)＋f(1﹣2x)<0.








10.已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(﹣∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论.















11.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A.(﹣1,0)∪(1，＋∞) B.(﹣∞，﹣1)∪(0,1)
C.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D.(﹣1,0)∪(0,1)

12.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A.f(1) C.f  ()
13.已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(﹣1)＝________.

14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1﹣x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)
15.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5﹣1；当﹣1≤x≤1时，f(﹣x)＝﹣f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 020)等于(　　)
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2

16.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3﹣2m)≥0，求实数m的取值范围.