初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件优秀同步测试题

第6章  图形的相似

6.4探索三角形相似的条件

知识点01  平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

如图： ，直线a、b分别与交于点A、B、C和点D、E、F，则有

（1）（2）（3）成立.

【微点拨】当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.

2.平行于三角形一边的直线的性质

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.

【微点拨】这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.

【即学即练1】如图，，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．

知识点02  相似三角形的判定定理

1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似.　

【微点拨】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

【即学即练2】将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　）

A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC

2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

【微点拨】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

【即学即练3】如图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（    ）

A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．

3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.

【即学即练4】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A．  B． 

C．  D．

知识点03  三角形的重心

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.

考法01  由平行判断成比例的线段

【典例1】如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

考法02  证明两三角形相似

【典例2】如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（    ）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

题组A  基础过关练

1．如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（    ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm

2．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，直线abc，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）

A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4

6．下列说法正确的是（    ）

A．两个直角三角形相似

B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似

C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似

D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似

7．如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．

8．如图，在中，，，，，则的长_____．

9．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．

10．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）．

题组B  能力提升练

1．如图，D是△ABC的边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B． C．∠ADC＝∠ACB D．

2．如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12

3．如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（    ）

A． B．3 C． D．6

4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

6．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若，EF=2，则CE的长为 ___________.

7．如图，为估算河的宽度，在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝20m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝40m．如果DE＝30m，A、E、C三点共线，则河宽AD为______．

8．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是______．

9．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．

题组C  培优拔尖练

1．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（   ）

A． B．

C． D．

2．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知菱形，、是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（    ）

①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③

5．如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．

6．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________．

7．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．

8．已知中，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法正确的是_________（填写序号）．

9．如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．

(1)求证：△ABC与△BCD相似：

(2)求∠A的度数

10．如图，ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE＝CF，BE延长线交DF于点G．

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)求证：△BGF∽△DCF．

11．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点E为CD中点，以点E为圆心，CE为半径的圆交BC与点F，连结AF交⊙E与点G，连结BG，EF，∠BGF＝∠BAC．求证：

(1)ABEF．

(2)△ABG∽△FAE．

32．请阅读以下材料，并完成相应的问题：

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．

下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；

(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．