人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀复习练习题

7.1.1 条件概率（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测）设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】由“事件相互独立”得，；

由“事件互斥”得；

由不能得到；由不能得到

所以“事件相互独立”是“事件互斥”的既不充分也不必要条件

故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（    ）

A．若A包含于B,则

B．若A,B是对立事件,则

C．若A,B是互斥事件,则

D．若A,B相互独立,则

【答案】B

【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以,

则,

故选项A正确,

关于选项B,因为A,B是对立事件,所以

所以,

故选项B错误,

关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以

所以,

故选项C正确,

关于选项D,因为A,B相互独立,所以

所以,

故选项D正确.

故选:B

3．（2022·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】任取两个数，则一奇一偶共有种取法，两个都是奇数共有，所以事件包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故,

则事件为所取两个数均为奇数，故,故,

故选：A

4．（2022春·贵州遵义·高二统考阶段练习）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设甲、乙两球落入盒子分别为事件A，B，则

因为两球是否落入盒子互不影响，即A，B相互独立

所以甲、乙两球都落入盒子的概率为

故选：A.

5．（2022春·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，

“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，

则由题意可得，

则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为

.

故选：.

6．（2022春·湖北·高三校联考阶段练习）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（    ）

A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件

C． D．

【答案】C

【详解】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；

满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；

，C正确；，D错误；

，不是相互独立事件，A错误；

事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.

故选：C.

7．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设事件表示“从箱中任取2件都是一等品”，事件表示“丢失的为等品”，

则，

所以.

故选：B.

8．（2022春·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥 B．A与D互斥且不对立

C．C与D互斥 D．A与C相互独立

【答案】D

【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；

由，A、D互斥且对立，B错误；

又，，则，C与D不互斥，C错误；

由，，，

所以，即A与C相互独立，D正确.

故选：D

二、多选题

9．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）已知事件相互独立，则（    ）

A．事件与事件不相互独立 B．

C．事件与事件互斥 D．在事件发生的条件下，事件与事件互为对立事件

【答案】BCD

【详解】因为

，因此事件与事件相互独立，故A错误；

因为，故B正确；

因为事件相互独立，由A选项证得的结论知事件与事件相互独立，

因此与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确；

，

，

又因为，所以在事件发生的条件下，事件与事件互为对立事件，故D正确，

故选：BCD.

10．（2022春·湖北荆门·高二荆门市东宝中学校考期中）设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则事件与一定不互斥

B．若，则事件与一定对立

C．若，则的值为

D．若事件与相互独立且，则

【答案】AD

【详解】， ,因为，

则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；

，,，事件与事件不一定对立，故B错误；

，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；

因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

11．（2022春·湖北恩施·高二校联考期中）甲、乙、丙、丁四人准备从社区组织的道路安全或卫生健康志愿宣传活动中随机选择一个参加，每个人的选择相互独立，则甲、乙参加同一个活动的概率为______．

【答案】##0.5

【详解】设事件A为“甲参加道路安全志愿宣传活动”，事件B为“乙参加道路安全志愿宣传活动”．

依题意得事件A，B相互独立，甲、乙参加道路安全或卫生健康志愿宣传活动的概率都为，

则甲、乙参加同一个活动的概率为，

所以．

故答案为：.

12．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______．

【答案】

【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，

则，.

.

故答案为：

四、解答题

13．（2022春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）体育锻炼不仅可以使人们增强体质、增进健康，也有助于培养人们勇敢顽强的性格、超越自我的精神、迎接挑战的意志和承担风险的能力．为了提高身体素质，加强体育锻炼，甲乙两人决定每天早晚各进行一次体育运动，甲乙都选择了跳绳或跑步，对两人过去100天的锻炼安排统计如下：

假设甲乙两人运动项目相互独立，用频率估计概率．

(1)请预测在今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率；

(2)试判断甲、乙在晚上跳绳的条件下，哪位更有可能早上选择跑步，并说明理由．

【答案】(1)今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为： .

(2)甲更有可能早上选择跑步，理由见解析.

【详解】（1）解：依题意可知，设甲早晚都选跳绳为事件 ，

则 ，

设今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳为事件 ，

，

所以今后的4天中甲恰有2天早上和晚上都选跳绳的概率为： .

（2）设甲早上跑步为事件，甲晚上跳绳为事件，

乙早上跑步为事件，乙晚上跳绳为事件，

由题意可知，

甲在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为：

，

乙在晚上跳绳的条件下，早上选择跑步的概率为：

，

，即，

所以甲更有可能早上选择跑步.

14．（2022春·北京·高二汇文中学校考期末）某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核为优秀，获得分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立．

(1)求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率；

(2)求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为分的概率．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）若甲、乙两名同学都没有获得加分资格，则概率为，

甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率为.

（2）甲、乙、丙三名同学所得加分之和为，则有两名同学获得加分资格，另一名同学没有获得加分资格，

则所求概率.

15．（2022春·云南·高二校联考阶段练习）某地为宣传防疫政策,组织专家建设题库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生防疫知识竞答闯关比赛,规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人一题．第一道题回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了三位选手,这三位选手在进行题库训练时的正确率如下表:

假设选手答题结果互不影响,用频率代替概率．

(1)若学校安排1号、2号、3号依次出场回答,则“闯关成功”的概率是多少？

(2)如何安排出场顺序使“闯关成功”的概率最大？

【答案】(1)0.864

(2)出场顺序为1号、2号、3号

【详解】（1）解:根据题意,“闯关成功”则必须三道题全对或者第一道题答错、其余都答对或者第二道题答错、其余都答对,而其他各种答题结果总得分都低于30分,

若三道题全对,则得分60,

此时概率．

若第一道题答错、其余都答对,则得分50,

此时概率．

若第二道题答错、其余都答对,则得分30,

此时概率．

所以“闯关成功”的概率;

（2）由于1号与2号答题的正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序:

①3号排第一;②3号排第二;③3号排第三．

若3号排第一,则“闯关成功”的概率,

若3号排第二,则“闯关成功”的概率,

若3号排第三,由（1）知“闯关成功”的概率,

综上可知,出场顺序为1号、2号、3号时,“闯关成功”的概率最大．

 B能力提升 

16．（2022·全国·高三专题练习）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．

(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；

(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．

①证明：；

②求．

【答案】(1)

(2)①证明见解析，②

【详解】（1）由条件概率公式可得；

所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为；

（2）①由条件概率乘法公式

可得，

由,可得,

所以

②由①可得

=

，所以．

17．（2022春·山西吕梁·高二校考阶段练习）如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)根据第（1）问中选择的路径，求甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率.

【答案】(1)甲应选择路径，乙应选择路径

(2)

【详解】（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．

用频率估计相应的概率，则有：

，；

∵，∴甲应选择路径；

，；

∵，∴乙应选择路径．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，则甲、乙两人中恰有一人在允许的时间内能赶到火车站的概率为

C综合素养

18．（2022·浙江·模拟预测）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.

(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；

(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.

②求小明第n次中靶的概率.

【答案】(1)

(2)①第2次中靶的概率为，第3次中靶的概率为；②小明第n次中靶的概率为

【详解】（1）小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：

第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为；

第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为；

第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为;

所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为

（2）小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：

第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为；

第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为；

所以，小明第2次中靶的概率为.

因此，小明第2次未中靶的概率为

同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：

第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为；

第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为；

则小明第3次中靶的概率为

②设小明第n次中靶的概率为，则第次中靶的概率为，

第n次中靶的概率由以下两种情况组成：

第一种：第次中靶，第n次也中靶，其概率为；

第二种：第次未中靶，第n次中靶，其概率为；

第n次中靶的概率

即，即数列是以为首项，为公比的等比数列；

所以，即

当时，符合该式；

所以，小明第n次中靶的概率为