高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式习题，共16页。试卷主要包含了1　条件概率与全概率公式，当P＝0时，P＝0等内容，欢迎下载使用。

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(1)结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．
(3)结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
(4)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
[教材要点]
要点一 条件概率
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
eq \a\vs4\al(状元随笔) (1)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．
(2)在条件概率的概念中，要强调P(A)>0.当P(A)＝0时，P(B|A)＝0.
(3)由条件概率的概念可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
(4)P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) 可变形为P(AB)＝P(B|A)P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．
(5)在事件A发生的情况下，事件B发生等价于事件A和事件B同时发生，即事件AB发生．求P(B|A)时，可把A看成新的基本事件空间来计算B发生的概率，即P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(\f(n（AB）,n（Ω）),\f(n（A）,n（Ω）)) ＝ eq \f(P（AB）,P（A）) .这样除条件概率的概念外，我们可以得到条件概率的另一种计算方法．
要点二 条件概率的性质
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________．
(3)设 eq \(B,\s\up9(－)) 和B互为对立事件，则P( eq \(B,\s\up9(－)) |A)＝1－P(B|A).
eq \a\vs4\al(状元随笔) 利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求条件概率可使复杂的问题变得较为简单，但应注意这个性质是在“事件B与事件C互斥”这一前提下才具备的．这个性质的推导过程如下：因为事件B与事件C互斥，所以(B∪C)A＝BA∪CA，且事件BA与事件CA互斥，所以P(B∪C|A)＝ eq \f(P（（B∪C）A）,P（A）) ＝ eq \f(P（BA）＋P（CA）,P（A）) ＝ eq \f(P（BA）,P（A）) ＋ eq \f(P（CA）,P（A）) ＝P(B|A)＋P(C|A).
要点三 全概率公式
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有________________________，我们称为全概率公式．
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)P(B|A)(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．( )
(3)P(A|A)＝0.( )
(4)P(B|A)＝P(A|B).( )
2.已知甲在上班途中要经过两个路口，第一个路口遇见红灯的概率为0.5.两个路口连续遇到红灯的概率为0.4.则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
3.已知P(B|A)＝ eq \f(1,2) ，P(AB)＝ eq \f(3,8) ，则P(A)等于( )
A． eq \f(3,16) B． eq \f(13,16) C． eq \f(3,4) D． eq \f(1,4)
题型一 条件概率的有关计算——师生共研
例1 (1)一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球．在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是( )
A． eq \f(3,5) B． eq \f(3,10)
C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2)
(2)一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．
方法归纳
根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，
即P(B|A)＝ eq \f(事件AB所含基本事件的个数,事件A所含基本事件的个数) ；
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ，计算求得P(B|A).
注意：P(AB)，P(B|A)，P(A|B)，P(A)，P(B)之间关系的应用，即P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ，P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ，P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝P(B|A)·P(A).
跟踪训练1 (1)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
(2)由“0”“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,8)
题型二 条件概率性质的应用——师生共研
例2 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先随机从1号箱中取出一个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一个球，问从2号箱中取出红球的概率是多少？
eq \a\vs4\al(状元随笔) 从2号箱中取出红球的概率取决于从1号箱中取出的球的颜色，因此要对1号箱中所取球的颜色分类：一类是从1号箱中取出白球的条件下，从2号箱中取出红球；一类是从1号箱中取出红球的条件下，从2号箱中取出红球，利用条件概率的计算公式及性质进行求解．
方法归纳
(1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率．
(2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立．
跟踪训练2 将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若在第一个盒子中取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，那么试验成功，则试验成功的概率为________．
题型三 全概率公式的应用——师生共研
影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？
例3 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球．现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．
方法归纳
利用全概率公式求概率的一般步骤：
(1)找出条件事件里的某一个完备事件，分别命名Ai.
(2)命名目标的概率事件为事件B.
(3)代入全概率公式求解．
跟踪训练3 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
易错辨析 混淆条件概率P(B|A)与积事件的概
率P(AB)致错
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求：
(1)第二次才取到黄球的概率；
(2)取出的两个球的其中之一是黄球时，另一个也是黄球的概率．
解析：(1)设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到黄球”，C表示“第二次才取到黄球”．
则P(C)＝P(AB)＝ eq \f(4,10) × eq \f(6,9) ＝ eq \f(4,15) .
(2)记D表示“其中之一是黄球”，E表示“两个都是黄球”，F表示“其中之一是黄球时，另一个也是黄球”．
则P(F)＝P(E|D)＝ eq \f(P（ED）,P（D）) ＝ eq \f(6,10) × eq \f(5,9) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,10)×\f(4,9)＋\f(4,10)×\f(6,9)＋\f(6,10)×\f(5,9))) ＝ eq \f(5,13) .
【易错警示】
易错原因
求解第(1)小题时易误认为P(C)＝P(B|A)＝ eq \f(6,9) ＝ eq \f(2,3) .求解第(2)小题时易误认为P(F)＝P(E)＝ eq \f(6,10) × eq \f(5,9) ＝ eq \f(1,3) .
产生以上错解的原因是不理解P(AB)与P(B|A)的含义．
纠错心得
解题时，先要正确理解并区分条件概率与积事件的概率，P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可．
eq \x(温馨提示：请完成课时作业（七）)
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
新知初探·课前预习
要点一
P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）)
要点二
P(B|A)＋P(C|A)
要点三
P(B)＝ eq \i\su(i＝1,n,P) (Ai)P(B|Ai)
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：设事件A表示“甲在第一个路口遇到红灯”，事件B表示“甲在第二个路口遇到红灯”．
由题意得P(AB)＝0.4，P(A)＝0.5，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.4,0.5) ＝0.8.故选C.
答案：C
3．解析：因为P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ，所以P(A)＝ eq \f(P（AB）,P（B|A）) ＝ eq \f(\f(3,8),\f(1,2)) ＝ eq \f(3,4) .故选C.
答案：C
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)设事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”，则P(A)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ，P(AB)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ),\f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )) ＝ eq \f(5×4,5×6) ＝ eq \f(2,3) .故选C.
(2)将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号看作二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况．P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(6,9) ＝ eq \f(2,3) .
答案：(1)C (2) eq \f(2,3)
跟踪训练1 解析：(1)记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.故选A.
(2)在第一位数字为0的条件下，第二位数字为0的概率为P(A|B)＝ eq \f(n（AB）,n（B）) ＝ eq \f(2,2×2) ＝ eq \f(1,2) .故选A.
答案：(1)A (2)A
题型二
例2 解析：设“从2号箱中取出红球”为事件A，
“从1号箱中取出红球”为事件B，
则P(B)＝ eq \f(4,2＋4) ＝ eq \f(2,3) ，P( eq \(B,\s\up9(－)) )＝1－P(B)＝ eq \f(1,3) ，
P(A|B)＝ eq \f(3＋1,8＋1) ＝ eq \f(4,9) ，P(A| eq \(B,\s\up9(－)) )＝ eq \f(3,8＋1) ＝ eq \f(1,3) ，
所以P(A)＝P(AB∪A eq \(B,\s\up9(－)) )＝P(AB)＋P(A eq \(B,\s\up9(－)) )＝P(A|B)P(B)＋P(A| eq \(B,\s\up9(－)) )P( eq \(B,\s\up9(－)) )＝ eq \f(4,9) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(11,27) .
跟踪训练2 解析：设事件A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
事件B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
事件R＝{第二次取出的球是红球}，
事件W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝ eq \f(7,10) ，P(B)＝ eq \f(3,10) ，
P(R|A)＝ eq \f(1,2) ，P(W|A)＝ eq \f(1,2) ，P(R|B)＝ eq \f(4,5) ，P(W|B)＝ eq \f(1,5) .
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝ eq \f(1,2) × eq \f(7,10) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(3,10) ＝ eq \f(59,100) .
答案： eq \f(59,100)
题型三
例3 解析：设A1＝“从甲盒取出2个红球”；A2＝“从甲盒取出2个白球”；A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球”，B＝“从乙盒取出2个红球”；则A1，A2，A3互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，
所以B＝ΩB＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B
∴P(B)＝P(A1B∪A2B∪A3B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) × eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) × eq \f(0,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ) × eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(3,70) .
跟踪训练3 解析：设B＝“从仓库中随机提出的一台是合格品”，A1＝“提出的一台是第i车间生产的”，i＝1，2，则B＝A1B∪A2B，
由题意知P(A1)＝ eq \f(2,5) ，P(A2)＝ eq \f(3,5) ，
P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝0.4×0.85＋0.6×0.88
＝0.868.