第六章计数原理章节验收测评卷-2023-2024学年度高二数学下学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第三册）

第六章 计数原理 章节验收测评卷

 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2022春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（    ）

A．13种 B．22种 C．30种 D．60种

【答案】D

【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，

故选：D．

2．（2022秋·吉林通化·高二统考期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（    ）

A．9 B．10 C．36 D．45

【答案】D

【详解】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数，

故第10行第9个数是．

故选：D

3．（2022春·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）展开式中的常数项是（    ）

A． B．135 C．1215 D．

【答案】B

【详解】由二项展开式通项公式可得，

令解得，

所以常数项，

故选：B

4．（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ）

A．24种 B．40种 C．60种 D．84种

【答案】B

【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.

故选：B．

5．（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期末）若展开，则展开式中的系数等于（    ）

A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和；

B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和；

C．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的求和之积；

D．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的求和之积；

【答案】A

【详解】根据乘法的分配律可知：本题五个一次式中每个一次式取一项相乘，再合并同类项

即为五个一次式中有三个一次式取，另外两个一次式取常数（即为1，2，3，4，5取两个数），再相乘，对所有结果合并同类型

∴的系数等于在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和

故选：A．

6．（2022秋·吉林·高二校联考期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（    ）

A．72 B．324 C．648 D．1296

【答案】D

【详解】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有种，

3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有种，

同侧的是同种舰艇的分配方案有种，

故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为 ,

故选：D

7．（2022春·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（    ）

A．2004 B．2005 C．2025 D．2026

【答案】D

【详解】若，

由二项式定理得，则，

因为能被5整除，所以a除以5余，

又因为，选项中2026除以5余1．

故选：D．

8．（2022秋·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】：在中，从第一项到最后一项分别表示：

从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（2022·全国·高三专题练习）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；

第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 ．

因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 ，

故选：AB

10．（2022秋·江苏苏州·高二校考期中）已知正整数满足不等式，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】选项A：等号左边，等号右边

等号左边=等号右边，A正确.

选项B：等号左边，等号右边，B错误.

选项C：等号左边，等号右边，等号左边=等号右边，C正确.

选项D：等号左边，

等号右边，D正确.

故选：ACD.

11．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（    ）

第0行                                    

第1行                                        

第2行                                                

第3行                                                        

……                                    ……

第n行                                ……            

A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值

B．第8行第2个数是

C．（，）

D．（，）

【答案】BC

【详解】A. 由莱布尼茨三角形知：当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，故错误；

B. 由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是，故正确；

C. 由组合数性质知：，所以（，），故正确；

D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：（，），故错误；

故选：BC

12．（2022秋·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】A：当，则，正确；

B：由展开式通项为，

故为奇数时，为偶数时，则，

当时有，错误；

C：由，

所以含项的系数为，

则，正确；

D：当时有，结合A、B分析有，错误；

故选：AC

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）

13．（2022·高二课时练习）3张卡片正、反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到______个不同的三位数．

【答案】48

【详解】解:根据题意，分两步完成：

第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列，即；

第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法，即．

根据分步乘法计数原理，可以得到个不同的三位数．

故答案为：

14．（2022秋·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）英国数学家泰勒(1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到(其中e为自然对数的底数，)，其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是_____

【答案】6

【详解】依题意得，即，，，所以的最小值是6．

故答案为：6

15．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：

天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸

地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥

把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年.

【答案】癸卯

【详解】因为，所以年以后地支为“寅”后面的“卯”.

因为，，除以10余数为1，所以年以后天干为“壬”后面的“癸”，故年以后是癸卯年.

故答案为：癸卯

16．（2022·全国·高三专题练习）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．

1    2    3    4    5    6    ...

  3    5    7    9    11   13   ...

    8    12   16   20    24   28  ...

...    ...    ...    ...    ...      ...

该数表的第一行是数列，第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为__________，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的通项公式为__________．

【答案】         

【详解】解：因为从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，

所以第4行的第1个数为20，第2个数为28，第3个数为36，第4个数为44，第5个数为52，

设各行的第一个数依次构成数列，

观察可得，

等式两边同除得

则数列是公差为，首项为的等差数列，

故，整理得

故答案为：52；．

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程

(1)

(2)

【答案】(1)(2)m=2

（1）

由题意得：，解得：，

，即，

解得：，结合，可得：

（2）

，则，

即，

解得：（舍去）或2

故方程的解为：m=2

18．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）（1）在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，求有多少种安排方法；

（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数；

（3）已知是自然数，若，且，求.

【答案】（1）60；（2）1260；（3）.

【详解】（1）有5位选手参加比赛的安排方法有种，2位男生连续出场的安排方法有种，女生甲排第一个的安排方法有种，2位男生连续出场，且女生甲排第一个的安排方法有种

∴符合题意的安排方法有种

（2）有0时，可以组成没有重复数字的四位数有

无0时，可以组成没有重复数字的四位数有

一共可以组成没有重复数字的四位数有

（3）的展开式的通项为

当时，，当时，

∴

∵关于的函数在上单调递增，且是自然数，经检验可得

∴

19．（2022·全国·高三专题练习）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．

(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；

(2)全体站成一排，男生不能站一起；

(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．

(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；

【答案】(1)种(2)种(3)种(4)种

【详解】（1）从3名男生中任选2名有种选法，从4名女生中任选2名有种选法，再将选取的4人排列有种排法，由乘法原理共有种排法．

（2）先将女生全排有种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，由乘法原理共有种排法．

（3）首尾位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他人有种排法，乘法原理共有种排法．

（4）将甲乙捆在一起，与剩下的3人（除丙丁）全排，再将丙丁插空到5个空隙中的2个有种，再将甲乙交换位置有种，由乘法原理共有种．

20．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，记含有的所有项的系数之和为.

(1)求；

(2)当取得最大值时，求的值.

【答案】(1)(2)

【详解】（1）因为，

所以含有的项为，即，

所以

故；

（2）因为，

所以含有的项为，即

取，可得，

令，则，化简可得，解得，即，所以，

令，所以，解得，即，所以，

所以当时，取得最大值，最大值为.

21．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）若，.

(1)求；

(2)求的值；

(3)求的值.

【答案】(1)1(2)0(3)

（1）令 , 所以 ;

（2）令 , 所以 , ，因为，所以 ,

（3）令 , 所以 , 又 ,

所以 ,

又因为 的展开式通项为 , 所以当 为奇数时, 项的系数为负数,

所以 .

22．（2022·高二课时练习）已知.

（1）当时，求的展开式中含项的系数；

（2）证明：的展开式中含项的系数为；

（3）定义：，化简：.

【答案】（1）84；（2）证明见解析；（3）.

【详解】（1）当时，，

的展开式中含项的系数为.

（2），，

故的展开式中含项的系数为

因为，

所以项的系数为：

.

（3）①

②

在①､②添加，则得

③

④

③+④得：