【重难点讲义】人教版数学九年级下册-基础练【27.2 相似三角形】讲义

2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第27章《相似》

27.2 相似三角形

知识点01：平行线分线段成比例

1．（2022秋•市南区校级期中）如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋•龙华区期中）如图，DE∥BC，且EC；BD＝2：3，AD＝9，则AE的长为（　　）

A．6 B．9 C．3 D．4

3．（2022春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设＝m，＝n，则m+n＝（　　）

A． B． C． D．

4．（2022秋•巨野县期中）如图，D、E是三角形ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，已知AB＝8cm，AC＝12cm，BD＝3cm，则AE＝　   　cm．

5．（2022秋•晋江市期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为 　   　．

6．（2022秋•石阡县期中）如图，已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5，相交于点O，且AB＝3，BC＝5，EF＝8，OE＝2．求：

（1）DE的长；

（2）OB的长．

7．（2022秋•大连期中）如图，在△ABC和△EDC中，点D在BC边上，点E在AC边上，CA＝54，CB＝45，CD＝30，CE＝36，求证：AB∥DE．

知识点02：相似三角形的性质

8．（2021秋•本溪县期末）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线．若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　）

A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9

9．（2022秋•宝山区期中）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为5cm，如果这两个三角形相似，那么△DEF的另两边长可能是（　　）

A．2cm，3cm B．4cm，6cm C．6cm，7cm D．6cm，8cm

10．（2022秋•西湖区期中）已知△ABC∽△A'B'C'，如果AC＝6，A'C'＝2.4，那么△A'B'C'与△ABC的周长比为（　　）

A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2

11．（2022秋•沿河县期中）已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC＝18cm2，则S△DEF＝　   　cm2．

12．（2022秋•定海区期中）如图所示，∠ACB＝∠ADC＝90°，AB＝5，AC＝4，若△ABC∽△ACD，则AD＝　   　．

13．（2022秋•黄浦区期中）如图，△ADE∽△ACB，已知∠A＝50°，4∠ADE＝∠B，则∠C＝　   　°．

14．（2022秋•深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．

（1）直接写出：OA＝　   　，OB＝　   　；

（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．

15．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．

（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；

（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．

知识点03：相似三角形的判定

16．（2021秋•准格尔旗期末）如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（　　）

A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B

17．（2022春•泰安期末）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝

18．（2022秋•建始县校级期中）如图，正△ABC中，点E是AB的中点，点D在AC上，且DC＝2DA，则（　　）

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD

19．（2022秋•黄浦区期中）定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．

如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝5，△AB′C′是△ABC以点A为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形△AB″C″（点B″、C″分别与B、C对应），其中B″C″边的长为 　   　．

20．（2022秋•奉贤区期中）如图，在四边形ABCD中∠BAC＝∠ADC＝90°，添加一个条件 　   　，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明Rt△DCA～Rt△ABC．

21．（2022秋•双柏县期中）如图所示，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长为 　   　．

22．（2022秋•邓州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为 　   　．

23．（2022秋•东阳市期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．

24．（2022秋•中山区期中）如图，在△ABC和△ACD中，∠BDC+∠ACB＝180°．

求证：△ABC∽△ACD．

知识点04：相似三角形的判定与性质

25．（2021秋•昌图县期末）如图，在△ABC中，EG∥BD，FG∥AC，下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

26．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（　　）

A．AE2＝EF•FG B．AE2＝EF•AG C．AE2＝EG•FG D．AE2＝EF•EG

27．（2022•路南区三模）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB、AC边上的点，且满足＝根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：

嘉嘉说：连接PQ，则PQ∥BC．

淇淇说：△AQP∽△ABC．

对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（　　）

A．两人都正确 B．两人都错误 

C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确

28．（2022•清镇市模拟）如图，在方格纸中，点A、B、C、D都在方格纸的交点处，线段AB与CD相交于点P，则线段AP：PB等于（　　）

A．1：1 B．2：3 C．：3 D．4：3

29．（2022•东明县二模）如图，在△ABC中，D，E分别AB，AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则△ADE与△ABC的面积之比等于 　   　．

30．（2022•沈阳二模）如图，在△ABC中，BC＝8，△ABC的面积是24，在△ABC中截出一个矩形DEFG，其中E，F在BC边上，D，G分别在边AB，AC上．设DG＝x，那么，当x＝　   　时，矩形DEFG的面积最大．

31．（2022秋•泰兴市期中）如图，正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠BAC的度数为 　   　．

32．（2022•馆陶县模拟）如图1，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）若D、F分别是AB、AC的中点，连接DF，如图2所示．若∠1＝45°，求∠3的度数．

33．（2022•安国市一模）某校数学兴趣小组进行数学探索活动．

在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．用直角三角形纸片剪▱DEFG，使点D、G分别在边AC、BC上（D不与A、C两点重合），点E、F在边AB上．

（1）如图，若四边形DEFG是正方形，求正方形的边长．

（2）嘉淇发现剪出的菱形DEFG的个数随着点D的位置变化而变化．请直接写出菱形DEFG的个数及对应的CD的长的取值范围．

知识点05：相似三角形的应用

34．（2022春•丰城市校级期末）如图中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

35．（2022春•工业园区校级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（　　）

A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米

36．（2022•武昌区模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸E，视线AE与井口的直径BC交于点F，如果测得直径BC＝5尺，BF＝1尺，记木杆AB长度为x尺，井深CE为y尺，则井深y（尺）与木杆长度x（尺）之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

37．（2022秋•青羊区校级期中）如图，小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小益的身高CD＝1.6米，标杆EF＝2.4米，DF＝1米，BF＝9米，则旗杆AB的高度是 　   　米．

38．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，AC＝5m，楼高BC是 　   　．

39．（2022秋•临汾期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝　   　米时，才能发现C处的儿童．

40．（2022秋•铁西区期中）为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝140米，且点E到河岸BC的距离为75米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度．

41．（2022秋•包河区期中）如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，其中眼睛E，标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.6米，求树高CD．

42．（2022秋•浑南区期中）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上．

（1）求证：△AHG∽△ABC；

（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？

知识点06：作图-相似变换

43．（2021•南平模拟）数学中，把宽与长之比为（≈0.618）的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到这张图，若AB＝a，则图中弧HF的长为（　　）

A． B． 

C．•（）2a D．•（）3a

44．（2016秋•白塔区校级期末）如图，请在小正方形边长为1的正方形网格中，画出两个相似比为1：的相似三角形　   　．

45．（2022秋•西湖区期中）已知△ABC中，∠C＝90°．

（1）请画出一条直线把它分出一个三角形与原三角形相似．

（2）请画出一条直线把它分割成两个相似三角形．

46．（2022秋•鹿城区校级期中）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在8×8的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按照以下要求画图．

（1）在图1中画格点△DEF，使△DEF与△ABC相似且周长比为2：1．

（2）在图2中画格点△BGC，使∠BGC＝∠ACB．