人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程教案设计

第二十二章 二次函数

22.2 二次函数与一元二次方程

一、教学目标

1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点）

2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点）

3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.

二、教学重难点

重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.

难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.

三、教学过程

【新课导入】

以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的关系.如果我们从二次函数的角度看一元二次方程，那么二次函数与一元二次方程又有什么关系呢？先来看下面的问题.

[思考]如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？

解：解方程 15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

 t1=1, t2=3.

∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.

（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？

解方程：

20=20t-5t2,

t2-4t+4=0,

t1=t2=2.

当小球飞行2秒时，它的高度为20米.

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？

解方程：

20.5=20t-5t2,

t2-4t+4.1=0,

因为(-4)2-4 ×4.1<0,

所以方程无实数根.

即小球的飞行高度达不到20.5米.

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

小球飞出和落地时的高度都为0，解方程

0=20t-5t2,

t2-4t=0,

t1=0,t2=4.

当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.

即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.

从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切．

[思考]已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程

－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．

反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．

一般地，我们可以利用二次函数y = ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c =0 又可以看作已知二次函数 的值为0，求自变量x的值．

[思考]观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？

（1）y=x2+x-2；

（2）y=x2-6x+9；

（3）y=x2-x+1.

观察图象，完成下表：

[归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程   ax2+bx+c=0根的关系

[思考]已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.

(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不 同的交点；

(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．

(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，

∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；

(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，

∴ x12 ＋ x22 ＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，

∴a＝1.

[思考]求一元二次方程x²-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）.

[分析]一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.

解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.

先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：

观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.

       同理可得另一近似值为x2≈2.4.

[思考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　B　)

A．x1≈－2.1， x2≈0.1   B．x1≈－2.5， x2≈0.5

C．x1≈－2.9， x2≈0.9  D．x1≈－3，  x2≈1

[注意] 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．

【课堂小结】

【课堂训练】

1.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y=-x2+x+运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.

（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？

（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？

（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？

解：（1）由抛物线的表达式得2.1=-x2+x+

          即x2-6x+5=0

          解得x1＝1，x2＝5.

   即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.

（2）由抛物线的表达式得2.5=-x2+x+

          即x2-6x+9=0

         解得x1＝x2＝3.

        即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.

（3）由抛物线的表达式得3=-x2+x+

        即x2-6x+14=0

         因为 △=（-6）2-4×1×14<0，

所以方程无实根.

所以铅球离地面的高度不能达到3m.

拓广探索

函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么

方程ax2+bx+c=0的根是 x1=-1，x2=3;

不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3;

不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3.

【布置作业】

【教学反思】

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的函数值为零时就变成了一元二次方程，或者说一元二次方程只是二次函数的一种特殊形式，课堂上通过实践问题建立起二次函数一元二次方程的联系，让学生感受函数图像和方程思想，从而完成本节课的授课内容.