高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.1 指数教案

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.1 指数教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业，板书设计等内容，欢迎下载使用。

4.1.2无理数指数幂及其运算性质（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)

一、教学目标

1.通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义；

2.掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养.

二、教学重难点

1.通过引入无理数指数幂扩充指数幂的运算，做到数系的扩充；

2.通过练习，使学生掌握指数幂的运算性质；

3.通过探究过程使学生进一步理解概念，并会进行简单的指数运算.

三、教学过程

1.无理数指数幂概念的形成

1.1复习巩固，深化理解

2.计算下列各式（式中字母均是正数）：

【设计意图】学生先回答有理指数幂的运算性质，然后独立完成计算，并展示，教师予以纠错并规范，起到复习巩固，深化理解的效果。

1.2提出问题，引发思考

　　【问题1】上面我们规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，即将(a＞0)中指数x的取值范围拓展到了有理数。那么，当指数x是无理数时，这个指数幂有没有意义？那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用？

　　【设计意图】：提出问题，引发学生思考和发言．

　　【追问1】无理数既然存在，无理数幂也应该存在，是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点.

　　【设计意图】明确本研究的重点、难点，激发学生的探究欲望．

　　【追问2】：无理数是如何发现的？请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置.

　　教师讲解：希帕索斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即）永远无法用最简整数比来表示（不可公度比），从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

　　当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．

　　【设计意图】类比无理数的发现过程，为研究无理数指数幂的意义提出方法。

　　【追问3】：类比无理数的逼近方法，设计方案解释的意义.

　　师生活动：学生借助计算工具，分别计算出一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…把它们逐一标记在数轴上，并探究规律.

　　无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一.

　　【设计意图】通过类比无理数的夹逼方法，解释的意义，学生体会其中蕴含的极限思想.

1.3类比归纳，形成新知

　　教师讲解：

　　（1）如何理解无理数指数幂

一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．

进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．

　　应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义．因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样，如果底数是负数，指数为，仍然没有意义.

　　（2）实数指数幂的运算性质

　　有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有运算性质．

对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略．

【基础强化练习】

【设计意图】进一步强化对无理数指数幂的理解和运用性质定理进行计算。