高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精品教案

4.1+4.2指数与对数函数单元教学设计

云南省玉溪市通海县一中  张园华

一、    内容及其解析

（一）内容

1、n次方根与分数指数幂；

2、无理数指数幂及其运算性质；

3、指数函数的概念；

4、指数函数的图象和性质.

本单元知识结构图：

（二）内容解析

内容的本质：指数函数是重要的、应用广泛的基本初等函数，借鉴研究幂函数的过程与方法，学习指数函数帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质，认识这类函数蕴含的变化规律，进一步理解函数的概念，并能用指数函数解决实际问题. 本单元首先引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程，建立实数指数幂的概念，并研究其运算，为指数函数=（> 0且）的学习奠定基础；然后通过典型丰富的实际问题，抽象概括出指数函数的概念；最后，重点研究指数函数的图象、性质和应用.指数函数是一类具体的函数，有了幂函数的经验，便可以按研究一类函数的基本思路去研究指数函数.

蕴含的思想和方法：指数幂运算的范围进一步推广，推广过程中的核心思想是“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中任然成立”；通过无理数指数幂的教学渗透极限思想.以具体函数为载体进一步理解函数思想，具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象思想；由函数的图象体现函数的性质，突出数形结合的思想方法.

知识的上下位关系：本单元是在函数的概念和性质、幂函数的基础上，进一步研究指数及其运算性质，指数函数的概念、图象和性质.函数是高中思想内容的一条主线如何研究具体的函数类型，前一章幂函数给出了基本思路，即按“背景——概念——表示——图象和性质——应用”得顺序进行研究.指数函数也是按照这种思路进行研究.

育人价值：函数是高中思想内容的一条主线如何研究具体的函数类型，前一章给出了基本思路，即按“背景——概念——表示——图象和性质——应用”得顺序进行研究，使学生更好地理解研究函数的基本思路和方法，并能将其应用于研究新函数，发展学生的数学抽象与直观想象素养.

教学重点：实数指数幂及其运算；指数函数的概念、图象和性质.

二、目标和目标解析

（一）单元目标

1、通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

2、通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.能借助描点法或信息技术画出具体指数函数的图象 ，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

3、结合指数函数概念、图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法.

（二）目标解析

达成上述目标的标志是

1、指数幂运算是一类重要的运算，指数幂运算源于数的自乘.从整数指数幂出发，通过经历n次方根与分数指数幂的关系，把整数指数幂推广到有理数指数幂，由推广有理数指数逼近无理数指数，把有理指数幂推广到实数指数幂.由于推广后保持了整数指数幂的运算性质，因而这种推广是合理的、有意义的、兼容的.

2、学生需要通过观察、分析、探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图象进行归纳、演绎，并通过抽象概括或推理得出其性质，从而得到有关概念和性质.能结合教科书中游客增长的问题1和碳14衰减的问题2，通过运算发现其中具体的增长或衰减的规律，并从中体会实际问题中变量间的关系.在了解指数函数的实际意义的基础上，知道指数函数的含义和表示，清楚其定义域和底数的取值范围.

能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表，然后描点或利用信息技术画出指数函数的图象；结合函数图象，归纳这些图象的共同特征，探索并总结指数函数的单调性与特殊点，并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点.

3、结合指数函数的教学，体会“背景——概念——表示——图象和性质——应用”的研究具体函数的一般思路；在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象素养；结合由函数图象直观认识函数性质的过程，体会数形结合的数学方法，提升直观想象素养.

三、教学问题诊断分析

教学问题1：学生理解把根式表示成分数指数幂有困难.

破解方法：通过具体实例，把的5次方根（）与分数指数幂联系起来，这种联系是非常自然的.突破了教科书105页的“思考”提出的问题，分数指数幂的推广就顺理成章了.

教学问题2：学生不能从教材111页问题1的数据中发现游客人次的变化规律.

破解方法：可引导学生先根据已知数据作出图象进行观察，然后启发学生对已知数据进行运算，通过运算得到每年与上年游客人次的比例为常数，从而结合图象发现变化规律的本质.这里，对数据进行哪些运算才有利于发现规律，是学生已有知识经验中缺乏的，教学中需要引导学生注意，并注意边空中对“增长量”“增长率”的作用的强调.

教学问题3：学生根据教材111页问题1和教材113页问题2得到的两个解析式概括出统一的函数关系式 =（> 0且）有困难.

破解方法：指导学生将问题2的解析式整理为. 教学中，教师要给学生探索和发现的机会，并给予学生恰当的指导.

教学问题4：为什么要把指数函数的底数分为和两类.

破解方法：教学中还要引导学生利用信息技术，从指数幂的意义、函数的对应关系和图象出发，结合实例理解指数函数底数的取值范围.

教学问题5：引导学生类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，研究指数函数的性质.

破解方法：作出一些具体指数函数的图象，并从特殊图象出发，通过观察、探究，归纳出这些图象的共同特征，从而抽象概括出指数函数的一般性质.教师引导学生利用信息技术进行探索，通过画出底数取大量不同值时的图象，发现并归纳函数的单调性；在探索的基础上将大量所作的图象分为增长和衰减两类，利用信息技术分别研究两类图象函数值的变化，从而归纳 时函数单调递增，时函数单调递减.

教学难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂；抽象、概括指数函数的概念和性质.

四、教学支持条件

利用excel制作表4.2-1并画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象，便于观察图象和表格，易于看出变化规律；利用geogebra软件画出不同底数的指数函数的图象，以利于观察、归纳出函数的性质，让学生有更多的时间停留在观察与思考上，更好的体会函数的本质与数学内涵.

五、课时教学设计

本单元共4课时，具体分配如下：

第1课时：n次方根与分数指数幂；

第2课时：无理数指数幂及其运算性质；

第3课时：指数函数的概念；

第4课时：指数函数的图象和性质.