湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用优秀教案

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同学们，在前面的学习中，我们已将学习了用直接开方的方法、以及配方法解一元二次方程的方法，以及一元二次方程与增长率、经济利润的问题。这节课我们将进一步探究一元二次方程在实际生活中的应用，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：

1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠ 0）

2.一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法；

3.一元二次方程根的判别式：△=b²-4ac.

4.一元二次方程的求根公式：x

5.一元二次函数根与系数的关系：x1+x2，x1+x2　.

6.一元二次方程与增长率：a（1±x）n=b

       x：平均增长(或降低)百分率  

a：增长(或降低)前的量    

b：增长(或降低)n次后的量

【导入新课】问题：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.

    解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为：（40-2x）cm，（28-2x）cm.

 根据题意，有  （40-2x）（28-2x）=364．

 整理得， x2-34x+189=0.

 解得 x1=27，x2=7．

     如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．即所截去的小正方形的边长为7cm.

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

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例题讲解

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例题讲解

 对于一元二次方程与面积问题，我们需要注意三点：

1.要把握好面积问题中有关的面积公式；

2.挖掘题目中隐含的等量关系，根据等量关系列相关方程；

3.计算面积问题时候，注意平移拼接结算面积.

接下来，我们看一个具体的例子：

【例1】如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.

分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算.              若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了.

 若设道路宽为xm，则新矩形的长为（32-x）m，宽为（20-x）m，根据等量关系你能列出方程吗？

解：根据题意可以可到方程：

 （32-x）（20-x）=540

      整理，得    x²-52x+100=0

解得       x1  =2 ， x2=50

 ∵x2=50＞32，

∴不符合题意，舍去，故 x=2.

答：道路的宽为2米.

【做一做】如图，在一块长为 92m ，宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？

分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 （92 – 2x ）m， 宽（60 - x）m.

利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.

解：设水渠的宽应挖 x m .

        （ 92 -  2x）（60 -  x ）=  6×885.

解得 x1=105（舍去），x2=1.

答：水渠的宽为1cm.

【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？

   解：若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²，根据题意得AP= xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm

∴，即x²-6x+9=0

整理，得解得        x1= x2=3

答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².

一元二次方程与动点问题我们需要注意的有两点：

1.物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，找准等量关系；

2.运行的路线与其他条件构成直角三角形时，运用直角三角形的性质列方程求解．

接下来，我们再次一起总结一元二次方程解应用题的一般步骤：

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及数量关系；

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；

3.列：根据等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程；

4.解：求出所给方程的解；

5.检：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题；

6.答：根据题意，选择合理的答案.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握一元二次方程的应用。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生掌掌握一元二次方程的应用。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

课堂练习

课堂练习

1.用长为100cm的金属丝制作一个面积为600cm²的矩形框子，设矩形框子的长为xcm，根据题意，可列方程（   B  ）

 A.x（100-x）=600            B.x（50-x）=600

 C.x（50-2x）=600               D.x（100-2x）=600

 2. 如图，把一根长为64cm的铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和为160cm²，则这两个正方形的边长为（              C）

A.8cm，8cm                B.10cm，6cm

 C.12cm，4cm              D.14cm，2cm

   3.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m²，两块绿地之间以及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为     2       m.

解：设人行横道的宽度为xm，则绿地的长为（24-2x） m，绿地的宽为（30-3x）m，根据题意得

（24-2x）（30-3x）=480

整理，得x²-22x+40=0

解得        x1=2， x2=20.

当x=20时，30-3x=-30，24-2x=-16，不合题意舍去，即x=2.

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都为1cm/s.求当P点运动到多少s时，△PCQ的面积是4cm².

解：设点P运动x秒后，△PCQ的面积为4cm²，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ= xcm.根据题意得

，

即x²-6x+8=0

整理，得解得        x1=2， x2=4.

答：P点运动到2或4秒时候，△PCQ的面积为4cm².

 5. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.

解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为（20-x）米，长为（32-x）米，

列方程得（20-x）（32-x）=540，

整理得 x2-52x+100=0，

解得 x1=50（舍去），x2=2.

答：道路宽为2米.

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生根据自己掌握的知识完成扩展提升里的联系，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习、做一做等检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

一元二次方程的应用

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第52、53页练习第1、2题.

教材第53页练习2.5第3题.

教材第54页B组第7题.