初中数学湘教版九年级上册2.5 一元二次方程的应用优质第2课时教学设计

第2章   一元二次方程

课题

2.5   第课时  一元二次方程应用—— 图形面积与动点问题

本课（章节）需 12 课时 ，本节课为第 11 课时，为本学期总第 17 课时

教

学

目

标

1．掌握列出一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

2．学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题．

重点

会利用实际问题情景中的数量关系，列出方程解决问题

难点

找实际问题情景中的等量关系

主备教师

教具

多媒体

课型

新授

教   学   过   程

个案修改

一、创设情境，导入新课

探究：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为 (30-2x)(20-x)=6×78

                                                21cm

二、合作交流，探究新知

要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)．

封面的长与宽之比为27：21，中央矩形的长与宽之比也应是 9：7，由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9：7             

  设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为（27－18x）cm，宽为（21－14x）cm．      

题   意：四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一

等量关系：中央矩形的面积是封面面积的四分之三．

由题意得，列方程

方程的哪个根合乎实际意义？为什么？

x2更合乎实际意义，如果取x1约等于2.799，那么上边宽为9×2.799＝25.191>21

上、下边衬的宽均约为2.799cm，

左、右边衬的宽均约为0.201cm.

易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解2.799，和0.201时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“封面长27cm，宽21cm”这个已知条件，显然x＝2.799不符合题意．

例1 如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.

解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm.

   根据题意，有  (40-2x)(28-2x)=364．

整理得， x2-34x+189=0.

解得 x1=27，x2=7．

如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．

    即所截去的小正方形的边长为7cm,

例有、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，

BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以

1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向

点B以2cm/s的速度移动．

(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

解析：这是一道动点问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．

解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10(cm)．

(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．

则根据题意，得·(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．

方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．

三、针对练习，巩固提高

1、如图1，在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？

2、如图2在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？

3、如图3在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？

4、如图4：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？

 四、课堂小结，升华知识

运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤

实际问题    分析数量关系设未知数     建立一元二次方程模型

解一元二次方程          检  验        作答

教

学

反

思

经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，观察、思考、交流，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.