人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精品课件ppt

22.3 实际问题与二次函数（第1课时）

一、教学目标

【知识与技能】

1.能根据实际问题构造二次函数模型.

2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.

【过程与方法】

通过对“矩形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.

【情感态度与价值观】

体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共3课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.

【教学难点】 

将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.

五、课前准备 

课件、三角尺、铅笔等.

六、教学过程

（一）导入新课

出示课件3：排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？

（二）探索新知

探究   二次函数与几何图形面积的最值

出示课件5：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.

教师问：如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）

学生答：由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值

师生共同解答：（出示课件7）

解：

小球运动的时间是3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m．

师生共同总结： 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值

出示课件8：例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？

问题1 矩形面积公式是什么？

问题2 如何用l表示另一边？

问题3 面积S的函数关系式是什么？

学生思考后，师生共同解答.

解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,

所以另一边长为（）m.

场地的面积S=l(30-l)，

即S=-l2+30l(0<l<30).

因此，当时，

S有最大值

即当l是15m时，场地的面积S最大.

教师点拨：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：（出示课件10）

1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；

2.确定自变量的取值范围；

3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；

4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.

变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件11）

教师问：变式1与例题有什么不同？

学生答：一边靠墙.

教师问：我们可以设面积为S，如何设自变量？

学生答：设垂直于墙的边长为x米.

教师问：面积S的函数关系式是什么？

学生答：S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.

教师问：如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）

学生答：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.

教师问：如何求最值？

学生答：最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.

变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（出示课件13）

教师问：变式2与变式1有什么异同？

学生答：墙长不一样.

教师问：可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？

学生答：设垂直于墙的边长为x米.

S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.

教师问：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？

学生答：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则

教师问：当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？（出示课件14）

学生答：不正确.

教师问：如何求自变量的取值范围？

学生答：0＜x≤18.

教师问：如何求最值？

学生答：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.

教师总结：（出示课件15）

实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.

出示课件16：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

师生共同分析后，生独立解决.

解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,

∴另一边长为8-x.

则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2,

即：

当x==4,另一边为4时,

S有最大值＝8，

∴当两直角边都是4时，直角三角形面积最大，最大值为8.

（三）课堂练习（出示课件17-25）

1.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.

3.如图，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过      秒，四边形APQC的面积最小.

4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).

(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.

参考答案：

1.解：⑴设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，

根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45.

当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；

当x=45时，100﹣2x=10.

答：AD的长为10m；

⑵设AD=xm，

∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，

当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；

当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．

2.

3.3

4.解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面

积为y，则DG=1-x.

当x=时，y有最小值.

即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.

5.解：

  即

∵0＜x＜25，

∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y最大=200.

6.解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),

S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.

(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;

当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.

这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.

（四）课堂小结

1.通过本节课的学习你有什么收获？

2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.

（五）课前预习

预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.

七、课后作业

1教材习题22.3第4、5、6、7题.

2.配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.