人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数教学课件ppt

课题

22.3第3课时拱桥问题和运动中的抛物线

授课人

素养目标

1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.

3．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题.

教学重点

探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.

教学难点

如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.

授课类型

新授课

课时

教学步骤

师生活动

设计意图

复习回顾

1.二次函数常见的解析式有哪几种？

2．用待定系数法求二次函数的解析式，选择不同解析式的条件是什么？

3．二次函数的应用通常有哪些类型？

在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.

活动一：创设情境、导入新课

【课堂引入】

如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？

师生活动：

教师进行引导，提出问题：

1．图中抛物线拱桥的顶点在哪？试着把它放在平面直角坐标系里面去，怎么放比较好？

2．“当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m”，这个信息有什么作用？

3．快速准确地解决这个问题的关键是什么？

学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.

通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.

活动二：实践探究、交流新知

　　【探究新知】

活动一：针对【课堂引入】的问题，教师进行提示：

①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系．

②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标．

③求出函数解析式，进而求点的坐标．

④求函数解析式应该用待定系数法．

师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程．

解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图1所示．根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A(－2，－2)，可得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±，所以CD－AB＝(2－4)米，则水面宽度将增加(2－4)米．

                               图1

活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答．

学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致．

如解法：如图2，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为(0，2)，通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标(－2，0)代入解析式，得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±，

所以CD－AB＝(2－4)米，则水面宽度将增加(2－4)米．

                           图2

教师引导学生进行归纳总结：

①建立适当的平面直角坐标系．

②根据题意找出题目中的点的坐标．

③求出抛物线的函数解析式．

④直接利用图象解决实际问题.

1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的．选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便，更明确易懂．

2．通过总结抛物线形实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确解题方向.

活动三：开放训练、体现应用

【典型例题】

例　如图，在一次足球训练中，球员小王从球门前方10 m起脚射门，球的运行路线恰好是一条抛物线，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球距离地面约3 m.

(1)求此抛物线的解析式．

(2)已知球门高2.44 m，小王能否射进球门？

师生活动：学生按要求进行解答，教师做好指导、点拨．

教师关注：学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题．

解：如图，建立平面直角坐标系：

球飞行的路线为抛物线，顶点坐标为(6，3)，原点O(0，0)，

设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋3，则

0＝a(0－6)2＋3.∴a＝－.

∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋3＝x2＋x.

(2)∵当x＝10时，y＝＜2.44，∴小王能射中球门．

【变式训练】

如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．求两盏景观灯之间的水平距离．

解：（略）

师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果．教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助.

激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边．让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学建模思想，增强应用意识.

活动四：课堂检测

针对本课时的主要问题，从多个角度，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.

课堂小结

1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？

(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？

2．布置作业：

教材第52页习题22.3第3题.

小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

板书设计

22.3　实际问题与二次函数

第3课时　实物抛物线

利用二次函数解决实物抛物线一般步骤：

1．建立适当的平面直角坐标系．

2．根据题意找出题目中的点的坐标．

3．求出抛物线的函数解析式．

4．直接利用函数图象解决实际问题.

提纲挈领，重点突出.

教学反思

本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.

反思，更进一步提升.