人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定第3课时教学设计

这是一份人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定第3课时教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 三角形的全等的判定（四）（HL）
一、教学目标
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
二、教学重难点
重点：直角三角形全等的判定方法“HL”.
难点：选择合适的判定方法判定两个直角三角形全等.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.回顾我们已经学习过的判定三角形全等的四个定理.
(①边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等.
该判定定理的几何语言：
在△ABC 和△ A'B'C'中，
AB=A'B'，
BC=B'C'，
CA=C'A'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

②边角边(SAS）:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
该判定定理的几何语言：
在△ABC 和△ A'B'C'中，
AB=A'B'，
∠B=∠B′，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）.

③角边角(ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
该判定定理的几何语言：
在△ABC 和△ A'B'C'中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）.

④角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
该判定定理的几何语言：
在△ABC 和△ A'B'C'中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）.
）
2.我们已经总结过的找相等边的方法.
(①公共边.②正多边形的边相等.③等边加（减）同边，其和（差）还是等边.④等边减等边，其差还是等边.)
3.我们已经总结过的找相等角的方法.
(①利用平行线找同位角或内错角.②对顶角.③等角加（减）同角，其和（差）还是等角.
④等角的补（余）角相等.⑤正多边形的内角相等.)
教师带领学生复习全等三角形的四个判定定理SSS和SAS的相关知识，为本节课做准备.
【新知探究】
知识点 “HL”证全等
[提出问题]对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
[学生思考]给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒学生可以结合刚才复习的判定三角形全等的方法想一想！
[课件展示]教师利用多媒体展示如下四种情况，学生对照自己的思考结果，对不同的结果举手发言，教师给予纠正.
1. 对于两个直角三角形中，满足一直角边及其相对的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？

全等，根据“AAS”.
2.对于两个直角三角形中，满足一直角边及其相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？

全等，根据“ASA”.
3.对于两个直角三角形中，满足两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？

全等，根据“SAS”.
4. 对于两个直角三角形中，满足斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？你的判定根据是什么？

全等，根据“AAS”.
[提出问题]对于两个直角三角形中，满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

[学生回答]学生根据图示，大部分学生可能会回答“不全等”，因为没有“SSA”，教师接着追问，以求探索.
[提出问题]任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放在Rt△ABC上，它们全等吗？

[动手操作]学生根据老师的要求，在准备好的卡纸上作图，试一试做出来的两个三角形是否全等.教师可提醒学生：如果两个三角形能够重合，那么两者就是全等三角形.
[学生回答]教师点名学生回答是如何制作△A′B′C′的，对于回答不完整的，请另一名学生补充.
[课件展示]教师利用多媒体展示画△A′B′C′的作法，学生检查自己的作法是否正确:
作法：（1）画∠MC′N=90°；
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；
（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧， 交射线C′N于点A′；
（4）连接A′B′.

[提出问题]△A′B′C′ 与△ABC全等吗？
[课件展示]教师利用多媒体展示画△A′B′C′与△ABC的重合过程.很明显两者是全等的.
[提出问题]这两个三角形全等满足的是哪三个条件？
[课件展示]教师利用多媒体展示满足的三个条件，从而得到答案：直角、斜边和一条直角边.

[归纳总结]斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
该判定定理的几何语言：
在Rt△ABC 和Rt△ A'B'C'中，
AC=A′C′，，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.


[提出问题]直角三角形的判定有哪些方法呢？
[课件展示]教师利用多媒体展示以下表格，学生根据条件，集体回答：

[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴BC=AD.
[课件展示]跟踪训练
如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） AD=BC （ HL ）
（2） BD=AC （ HL ）
（3） ∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ）
（4） ∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）

【课堂小结】

【课堂训练】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ,以下结论:(1)△ABD≌△ACD;(2)BD=CD;(3)∠B=∠C;(4) AD是△ABC的一条角平分线.
其中正确的有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2．（2021•上海二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（　C　）
A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
【解析】∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴A.由BC＝B′C′可根据“SSS”判定；
B.由∠A＝∠A′可根据“SAS”判定；
C.由∠C＝∠C′不可判定，因为没有“SSA”；
D.由∠B＝∠B′＝90°可根据“HL”判定．
故选C．

3．（2021•北京一模）如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是　 　．（写出一个即可）

【解析】∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°．
∵AC＝AC（公共边），
∴当添加CB＝CD或AB＝AD时，则可根据“HL”判断△ABC≌△ADC；
当添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC时，则可根据“AAS”判断△ABC≌△ADC．
故答案为CB＝CD或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC（选择其中一个条件即可）．
4．（2021•西安模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，分别过点A，C向EF作垂线，垂足分别为点G，H，且AG＝CH．求证：AB∥CD．

证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，
∴∠G＝∠H＝90°.
在Rt△AGE和Rt△CHF中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL）.
∴∠AEG＝∠CFH.
∵∠AEG＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠CFH.
∴AB∥CD．
5．（2021•佛山一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M，N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．

（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°.
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）解：由（1），知Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN.
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°.
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
6.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.

证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB=∠AFB=90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
AD＝AF，
AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
AD＝AF，
AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD,CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，求CH的长.

证明：∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，∴∠AEH=∠CEB=∠CDH=90°.
又∠AHE=∠CHD，∴∠EAH=∠ECB.
在△EAH和△ECB中，
∠EAH=∠BCE，
∠AEH=∠CEB,
EH＝EB，
∴△EAH≌△ECB(AAS)．
∴AE＝CE,则CE=4.
∴CH=CE-EH=4-3=1.
提醒学生：“HL”是直角三角形独有的判定方法,但直角三角形的判定方法很多，判定时，应抓住“直角”这个隐含条件，选择合适的方法求证．
8.如图，AB=12m，CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动多少分钟后，△CAP与△PQB全等？

解:CA⊥AB于点A, DB⊥AB于点B ,
∴∠A=∠B=90°.
设运动x分钟后，△CAP与△PQB全等，则BP=xm , BQ=2xm,AP=(12-x)m.分两种情况:
①若BP=AC ,则x=4,∴AP=12-4=8（m） , BQ=8m, ∴AP=BQ ,此时，△CAP≌△PBQ（SAS）;
②若BP=AP ,则12-x=x,解得x=6 , 则BQ=12m≠AC,
此时，△CAP与△PBQ不全等.
综上所示，运动4分钟后，△CAP与△PQB全等.
提醒学生：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
【教学反思】
有了前几节课的经验，本节课的教学中将操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等学习方式贯穿在了课堂教学的始终，促进学生形成主动学习的愿望和积极参与的意识；教学过程中给学生留出了充分的活动时间和想像空间，鼓励每位学生动手、动口、动脑，积极参与到活动和实践中来.直角三角形全等的判定方法较多，除了HL方法以外，一般三角形全等的四种方法也适用于直角三角形全等的判定.所以在练习题的设置上，设计了一定数量能运用不同的直角三角形识别方法进行解题的题型，克服了方法的单一性.让学生在解题中学会分析，学会选择，从而加深对知识的理解与灵活应用.