新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质分层演练新人教A版必修第二册

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8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质
A级　基础巩固
1.若平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则 (　　)
A.直线a⊥平面β B.直线a∥平面β
C.直线a与平面β相交 D.以上都有可能
解析:因为直线a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能.
答案:D
2.如图所示,三棱锥P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=
PB,AD=DB,则(　　)

A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC.
答案:B
3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是 (　　)
A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α
解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,
应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.
答案:B
4.如图所示,沿Rt△ABC的中位线DE将△ADE折起,使得平面
ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是垂直.
⇒
解析:因为AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.
因为CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.
因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
5.如图所示,已知平面α,β,α⊥β,在α与β的交线上取线段AB=
4 cm,AC,BD分别在α和β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3 cm,
BD=12 cm,求CD的长.

解:如图所示,连接BC.

因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.
因为BC⊂α,所以BD⊥BC.
在Rt△BAC中,BC===5(cm),
在Rt△DBC中,CD===13(cm),
所以CD长为13 cm.
B级　能力提升
6.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定点,则动点C运动形成的图形是
(　　)
A.一条线段 B.一条直线
C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点

解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC. 因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(不含A,B两点).
答案:D
7.如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,
∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是45°.

解析:如图所示,过点A作AO⊥BD于点O.

因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.
8.(2022·全国乙卷,理)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=
CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD;
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

(1)证明:因为AD=CD,∠ADB=∠BDC,DB=DB,
所以△ADB≌△CDB,所以AB=BC.
因为E为AC的中点,所以AC⊥BE,AC⊥DE.
又BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BED,所以AC⊥平面BED,
又AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
(2)解:因为AB=BC=2,∠ACB=60°,
所以△ABC为正三角形,则AC=2,BE=,AE=1.
因为AD=CD,AD⊥CD,所以△ADC为等腰直角三角形,
所以DE=1.所以DE2+BE2=BD2,则DE⊥BE.
由(1)可知,AC⊥平面BED.连接EF,
因为EF⊂平面BED,所以AC⊥EF,当△AFC的面积最小时,点F到直线AC的距离最小,即EF的长度最小.
在Rt△BED中,当EF的长度最小时,EF⊥BD,EF==.
因为E为AC的中点,所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍.
因为DE⊥AC,DE⊥BE,AC∩BE=E,AC,BE⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC.
因为VD-AEB=VE-ADB,所以×AE×BE×DE=×S△ABD×,其中d为点C到平面ABD的距离.
在△ABD中,BA=BD=2,AD=,所以S△ABD=,所以d=.
因为AC⊥平面BED,EF⊂平面BED,所以AC⊥EF,
所以FC==.
记CF与平面ABD所成的角为α,则sin α==.
C级　挑战创新
9.探索性问题如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?

(1)证明:如图所示,过点E作EG⊥CF于点G,连接DG.
由题意,得四边形BCGE为矩形.
因为四边形ABCD为矩形,BE∥CF,
所以AD∥EG,AD=BC=EG,
所以四边形ADGE为平行四边形,所以AE∥DG.
因为AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,所以AE∥平面DCF.
(2)解:如图所示,过点B作BH⊥FE,交FE的延长线于点H,连接AH.

因为平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面BEFC.
因为BH⊥EF,所以AH⊥EF,
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.
在Rt△EFG中,因为EG=AD=,EF=2,所以∠CFE=60°,FG=1.
易知CF=4,所以BE=CG=3,所以BH=BE·sin∠BEH=.
当∠AHB=60°时,AB=BH·tan∠AHB=tan∠AHB=,
所以当AB=时,二面角A-EF-C的大小为60°.