新教材2023高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定及直线与平面所成的角分层演练新人教A版必修第二册

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8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定及直线与平面所成的角
A级　基础巩固
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是(　　)
A.l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.

答案:D
2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于(　　)
A.20°B.70°C.90°D.110°
解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角.因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.
答案:B
3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若
PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形.

解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,
所以△PAB,△PAD都是直角三角形.
因为BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,
所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.
同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.
故共有4个直角三角形.
4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.

解析:因为PA⊥平面ABC,
所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,
所以∠PCA即为直线PC与平面ABC所成的角.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=AB.
在Rt△PAC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD. 求证:BD⊥平面PAC.

证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.
因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,
所以BD⊥平面PAC.
B级　能力提升
6.多选题(2021年新高考全国Ⅱ卷)如图,下列正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是
(　　)

A BCD
解析:平移MN,构造出异面直线MN与OP所成的角,可判断选项A,D不满足题意.根据线面垂直的判定定理,可判断选项B,C满足题意.
答案:BC
7.多选题(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,
F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则(　　)
A.V3=2V2B.V3=V1
C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

解析:如图,连接BD交AC于O,连接OE,OF.

设AB=ED=2FB=2,则AB=BC=CD=AD=2,FB=1.
因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,
所以V1=VE-ACD=S△ACD×ED=×AD×CD×ED=××2×2×2=,
V2=VF-ABC=S△ABC×FB=×AB×BC×FB=××2×2×1=.
因为ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以ED⊥AC,
又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,
所以AC⊥平面BDEF.
因为OE,OF⊂平面BDEF,所以AC⊥OE,AC⊥OF.
易知AC=BD=AB=2,OB=OD=BD=,
OF==,OE==,
EF===3,
所以EF2=OE2+OF2,所以OF⊥OE,
又OE∩AC=O,OE,AC⊂平面ACE,所以OF⊥平面ACE,所以V3=
VF-ACE=S△ACE·OF=×AC×OE×OF=××2××=2,
所以V3≠2V2,V1≠V3,V3=V1+V2,2V3=3V1,
所以选项A,B不正确,选项C,D正确,故选CD.
答案:CD
8.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为.

解析:如图所示,连接EF.根据题意知BC⊥AF,BC⊥DF.

因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,
所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角.
设BC=2,则BF=1,BE=,
所以sin∠BEF==.
9.如图所示,AB是圆柱的一条母线,BD是圆柱底面圆的一条直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线BD与平面ACD所成角的大小.

解:如图所示,取AC的中点E,连接BE,DE.

由题意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.
因为BD是底面圆的直径,所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.
因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以CD⊥平面ABC.
因为BE⊂平面ABC,所以CD⊥BE.
因为AB=BC=2,AB⊥BC,E为AC中点,
所以BE⊥AC,且BE=.
因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,
所以∠BDE是BD与平面ACD所成的角.
因为BD=BC=2,所以sin∠BDE===,
所以∠BDE=30°,即BD与平面ACD所成的角为30°.
C级　挑战创新
10.探索性问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,若点P总是满足AP⊥BD1,则动点P满足的条件是什么?并说明理由.
解:当点P在线段B1C上时,可以总是满足AP⊥BD1.
理由如下:
如图所示,连接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.

因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以BB1⊥平面ABCD.
因为AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.
因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.
因为BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
因为BD1⊂平面BDD1B1,所以BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥AB1.
因为AC⊂平面AB1C,AB1⊂平面AB1C,AC∩AB1=A,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为点P在线段B1C上,所以AP⊂平面AB1C,所以AP⊥BD1.