2023高考数学二轮专题复习与测试小题基础练五数学文化

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小题基础练(五)　数学文化
1．(2022·潮州二模)唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
A．5　　　　 B．3　　　　
C．45　　　　 D．5
解析：点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，
则|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，
故“将军饮马”的最短总路程为＝3.
故选B.
答案：B
2．(2022·光明区校级模拟)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驽马多行(　　)
A．1 125里 B．920里
C．820里 D．540里
解析：由题设可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差为13的等差数列{an}，
驽马每日行程构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列{bn}，
则an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，bn＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n，
数列{an}的前n项和为＝，
数列{bn}的前n项和为＝，
又当经过n天两马相逢时，两马行程和为＋＝1 125×2，
整理得：n2＋31n－360＝0，解得：n＝9或n＝－40(舍)，
可得当二马相逢时，良马所行路程为＝1 395，驽马所行路程为＝855，
所以相逢时良马比驽马多行1 395－855＝540(里)．
故选D.
答案：D
3．(2022·岳麓区校级二模)中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理” .如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1∶25，则sin(α＋)＝(　　)

A． B．－
C． D．－
解析：如图，

由题意得DC＝5EH，
因为CE＝DCsin α，DE＝DCcos α＝EC－EH＝DCsin α－DC，
所以sin α－cos α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
因为α∈(0，)，
所以sin α＋cos α＝，
所以sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin＝(sin α＋cos α)＝，
故选C.
答案：C
4．(2022·深圳模拟)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－22·()n恒成立，所以1＋()2n>2·()n恒成立，故C正确；
对于D：令k(n)＝n2φ(n)，则
k(n＋1)－k(n)＝(n＋1)2φ(n＋1)－n2φ(n)＝(n＋1)2··()n＋1－n2··()n，
整理可得k(n＋1)－k(n)＝·()n(－n2＋4n＋2)，
令－n2＋4n＋2＝0解得n＝2＋或n＝2－(舍)，因为n∈N*，所以40，ω>0，|φ|