2024届高考数学二轮复习小题基础练(四)含答案

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A．Ceq \\al(45,400)·Ceq \\al(15,200)种 B．Ceq \\al(20,400)·Ceq \\al(40,200)种
C．Ceq \\al(30,400)·Ceq \\al(30,200)种 D．Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种
解析：因为初中部和高中部分别有400和200名学生，
所以人数比例为400∶200＝2∶1，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有Ceq \\al(40,400)·Ceq \\al(20,200)种．
故选D.
答案：D
2．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
解析：根据题意可得满足题意的选法种数为：Ceq \\al(1,6)·Aeq \\al(2,5)＝120.
故选C.
答案：C
3．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120 B．60
C．40 D．30
解析：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有Ceq \\al(1,5)＝5(种)选法，
然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,3)＝12(种)选法，
根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60(种)选法．
故选B.
答案：B
4．(2023·汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A．2563 B．27
C．2553 D．6
解析：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，
根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．
故选A.
答案：A
5．(2023·佛山二模)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有( )
A．120种 B．180种
C．240种 D．300种
解析：5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择的不同方法数Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)＝240.
故选C.
答案：C
6．(2023·广州一模)“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有( )
A．100个 B．125个
C．225个 D．250个
解析：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分2种类型，分3步进行分析：
第一类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，
对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶数，有4种取法，则5位回文数有5×5×4＝100(个)，
第二类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，
对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，
对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，则5位回文数有5×5×5＝125(个)，
共有225个．
故选C.
答案：C
7．(2023·汕头一模)现将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，要求A、B相邻，且B、C不相邻，则不同的排列方式有________种．( )
A．192 B．240
C．120 D．28
解析：将A、B捆绑，可作一个元素，与D、E、F排列，然后插入C，可得不同的排列方式有：Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(4,4)·Ceq \\al(1,4)＝192.
故选A.
答案：A
8．(2023·广东模拟)把二项式(eq \r(3,x)＋eq \f(2,x))9的所有展开项重新排列，求有理项不相邻的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(5,42) D.eq \f(1,3)
解析：Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)·(eq \r(3,x))9－r·(eq \f(2,x))r＝Ceq \\al(r,9)·x3－eq \f(r,3)·eq \f(2r,xr)＝Ceq \\al(r,9)·x3－eq \f(4r,3)·2r，其中0≤r≤9，r∈N，
当r＝0，3，6，9，项为有理项，则有4项有理项，6项无理项，
展开式的10项全排列共有Aeq \\al(10,10)种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把4个有理项在形成的7个空中插空即可，有Aeq \\al(6,6)·Aeq \\al(4,7)种．
所以有理项都互不相邻的概率为eq \f(Aeq \\al(6,6)·Aeq \\al(4,7),Aeq \\al(10,10))＝eq \f(1,6).
故选B.
答案：B
9．(多选题)(2023·佛山禅城区校级一模)若x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，其中ai(i＝0，1，…，5)为实数，则( )
A．a0＝0 B．a3＝－10
C．a1＋a3＋a5＝－16 D．a1＋a2＋…＋a5＝1
解析：x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，
对于A，令1－x＝0，则x＝1，则a0＝1，故A错误；
对于B，因为x5＝[1－(1－x)]5，所以展开式中含(1－x)3的系数为Ceq \\al(3,5)·(－1)3＝－10，故B正确．
对于C，令1－x＝1，则x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝0，令1－x＝－1，
则x＝2，则a0－a1＋…－a5＝25＝32，
所以a1＋a3＋a5＝eq \f(0－32,2)＝－16，故C正确；
对于D，a1＋a2＋…＋a5＝0－a0＝－1，故D错误．
故选BC.
答案：BC
10．(多选题)(2023·青岛一模)在(2x－eq \f(1,x))8的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项是1 120
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为256
D．各项的系数之和为256
解析：根据二项式定理，(2x－eq \f(1,x))8的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)28－k(－1)kx8－2k，
对于A，常数项为Ceq \\al(4,8)24(－1)4＝1 120，故A正确；
对于B，第四项的系数为Ceq \\al(3,8)28－3(－1)3＝－179 2，第六项的系数为Ceq \\al(5,8)28－5(－1)5＝－448，故B错误；
对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；
对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．
故选AC.
答案：AC
11．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
解析：若选2门，则只能各选1门，有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)＝16(种)，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)＝24＋24＝48，
综上共有16＋48＝64(种)不同的方案．
故答案为64.
答案：64
12．(2023·深圳模拟)(x＋2)(x－1)3展开式中x2的系数为________．
解析：(x－1)3的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,3)x3－r·(－1)r，
(x＋2)(x－1)3＝x(x－1)3＋2(x－1)3，
取r＝2和r＝1，计算得到系数为：Ceq \\al(2,3)·(－1)2＋2×Ceq \\al(1,3)·(－1)1＝－3.
故答案为－3.
答案：－3
13．(2023·天津卷)在(2x3－eq \f(1,x))6的展开式中，x2项的系数为________．
解析：二项式(2x3－eq \f(1,x))6的展开式的通项为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2x3)6－r·(－eq \f(1,x))r＝Ceq \\al(r,6)·26－r·(－1)r·x18－4r，
令18－4r＝2得，r＝4，
所以x2项的系数为Ceq \\al(4,6)·22×(－1)4＝60.
故答案为60.
答案：60
14．(2023·上海卷)设(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a4＝________．
解析：根据题意及二项式定理可得：
a0＋a4＝Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(4,4)·(－2)4＝17.
故答案为17.
答案：17
15．(2023·惠州模拟)已知(2eq \r(x)－eq \f(1,x))n的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为________(用数字作答)．
解析：由题意，2n＝64，得n＝6.
所以(2eq \r(x)－eq \f(1,x))n＝(2eq \r(x)－eq \f(1,x))6，
其通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2eq \r(x))6－r(－eq \f(1,x))r＝(－1)r·26－r·Ceq \\al(r,6)·x3－eq \f(3,2)r.
令3－eq \f(3,2)r＝0，得r＝2.
所以展开式的常数项为24·Ceq \\al(2,6)＝240.
故答案为240.
答案：240
16．(2023·汕头潮阳区三模)(x2＋eq \f(2,x)＋1)7展开式中x5的系数是________．
解析：因为(x2＋eq \f(2,x)＋1)7是7个(x2＋eq \f(2,x)＋1)相乘，
(x2＋eq \f(2,x)＋1)7的展开式中x5项可以由4个x2项、3个eq \f(2,x)项和0个常数项，或3个x2项、1个eq \f(2,x)项和3个常数项相乘，
所以(x2＋eq \f(2,x)＋1)7展开式中x5的系数是Ceq \\al(4,7)·Ceq \\al(3,3)·23＋Ceq \\al(3,7)·Ceq \\al(1,4)·2＝560.
故答案为560.
答案：560