2024届高考数学二轮复习小题基础练(五)含答案

这是一份2024届高考数学二轮复习小题基础练(五)含答案，共15页。
A．10117万年 B．117万年
C．10205万年 D．205万年
解析：由题意大约能用eq \f(2441,3×1011×104)万年，
则lg eq \f(2441,3×1015)＝441lg 2－lg 3－15≈441×0.3－0.5－15≈117，所以eq \f(2441,3×1011×104)≈10117.
故选A.
答案：A
2．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离s，则此时P到铁轨上表面的距离为( )
A．Rsin eq \f(s,R) B．2Rsin eq \f(s,R)
C．R(1－cs eq \f(s,R)) D．R(1＋cs eq \f(s,R))
解析：当列车行驶的距离为s时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s，
所以车轮转过的角度为eq \f(s,R)，P点的初始位置为P0，
设车轮的中心为O，
当eq \f(s,R)∈(0，eq \f(π,2))时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如图1所示，
则OQ＝OP·cs eq \f(s,R)＝Rcs eq \f(s,R)，
所以P到铁轨表面的距离为P0Q＝R－R·cs eq \f(s,R)＝R(1－cs eq \f(s,R))；
当eq \f(s,R)∈(eq \f(π,2)，π)时，PM⊥MP0，作ON⊥PM，垂足为N，如图2所示，
则PN＝OP·sin(eq \f(s,R)－eq \f(π,2))＝－Rcs eq \f(s,R)，
所以P到铁轨表面的距离为PM＝R－Rcs eq \f(s,R)＝R(1－cs eq \f(s,R))；
当eq \f(s,R)∈(π，eq \f(3π,2))时，PM⊥MP0，作ON⊥MP，垂足为N，如图3所示，
则PN＝OP·sin (eq \f(3π,2)－eq \f(s,R))＝－Rcs eq \f(s,R)，
所以P到铁轨表面的距离为PM＝R－Rcs eq \f(s,R)＝R(1－cs eq \f(s,R))；
当eq \f(s,R)∈(eq \f(3π,2)，2π)时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如图4所示，
则OQ＝OP·cs(2π－eq \f(s,R))＝Rcs eq \f(s,R)，
所以P到铁轨表面的距离为P0Q＝R－R·cs eq \f(s,R)＝R(1－cs eq \f(s,R))；
当eq \f(s,R)＝0或eq \f(π,2)或π或eq \f(3π,2)时，
P到铁轨表面的距离满足R(1－cs eq \f(s,R))；
当eq \f(s,R)≥2π时，点P到铁轨表面的距离为R[1－cs(eq \f(s,R)－2kπ)]＝R(1－cs eq \f(s,R))，k∈Z，
综上所述，点P到铁轨表面的距离为R(1－cs eq \f(s,R))．
故选C.
答案：C
3．(2023·阿勒泰地区三模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径为2m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(精确到1 m2)( )
A．2 m2 B．3 m2
C．4 m2 D．1 m2
解析：依题意，弦＝2×2sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)(m)，矢＝2－2cs eq \f(π,3)＝1(m)，
则弧田面积＝eq \f(1,2)×(2eq \r(3)×1＋12)＝eq \r(3)＋eq \f(1,2)≈2(m2)，
所以弧田面积约是2 m2.
故选A.
答案：A
4．(2023·湖北二模)现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致．如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6 m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美．某游客从楼梯底端出发一直走到顶部．现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x，y的单位：m)．该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为eq \f(11,4)π，则ω约为( )
A．0.55 B．0.65
C．0.75 D．0.85
解析：由旋转楼梯高为15.6 m知，投影到轴截面上后，
对应曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，游客移动的水平距离是15.6，
因为初始时游客在最底端，
所以当x＝0时，初相为φ，
因为整个运动过程中，相位的变化量为eq \f(11,4)π，且最后游客在最高点，
所以最后的位置15.6ω＋φ，
所以15.6ω＋φ－φ＝eq \f(11,4)π，解得ω≈0.55.
故选A.
答案：A
5．(2023·扬州广陵区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M[开始时与圆盘上点A(1，0)重合]系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为( )
A．eq \f(1,cs 1) B．eq \f(2,sin 1)
C．2 D．eq \r(5)
解析：展开过程中：BM＝eq \(AB,\s\up8(︵))＝φ·R＝2，
BO＝1，MO＝eq \r(BM2＋BO2)＝eq \r(5).
故选D.
答案：D
6．(2023·滨州二模)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式的图象可能是( )
解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝eq \f(π,6)，所以OM在t(s)内转过的角为eq \f(2π,60)t＝eq \f(π,30)t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为eq \f(π,30)t－eq \f(π,6)，
则点M的纵坐标为4sin(eq \f(π,30)t－eq \f(π,6))，
所以点M距水面的高度H(m)表示为时间t(s)的函数是H＝4sin(eq \f(π,30)t－eq \f(π,6))＋2，
所以高度H与时间t之间的函数关系式图象可能是选项D中所画图象．
故选D.
答案：D
7．(2023·宝鸡三模)我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|