2023高考数学二轮专题复习与测试小题基础练四排列组合二项式定理

这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试小题基础练四排列组合二项式定理，共6页。
小题基础练(四)　排列组合、二项式定理
1．(2022·广州三模)(－)9的展开式中的常数项为(　　)
A．64　　　 B．－64　　　
C．84　　　 D．－84
解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C()9－r(－)r＝C·(－1)rx，令＝0，解得r＝3，
则展开式的常数项为C·(－1)3＝－84，
故选D.
答案：D
2．(2022·汕头三模)2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是(　　)
A．36 B．24
C．18 D．42
解析：先安排“冰壶”有C·C＝6(种)排法，再安排其余两项有A＝6(种)排法，故总的安排方法数为6×6＝36.
故选A.
答案：A
3．(2022·汕头三模)(x5＋)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x5)n－r·()r＝Cx，
令5n－＝0，且r＝0，1，…，n，n∈N，
则当r＝2时，n取得最小值为3，
故选B.
答案：B
4．(2022·广东三模)将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有(　　)
A．120种 B．240种
C．360种 D．480种
解析：5名核酸检测工作志愿者选2个1组，有C种方法，然后4组进行全排列，有A种，
共有CA＝240(种)，
故选B.
答案：B
5．(2022·天河区三模)若(3x－)n的展开式中各项系数和为64，则展开式中的常数项为(　　)
A．15 B．30
C．135 D．270
解析：令x＝1得，各项系数和为(3－1)n＝64，
所以n＝6，
所以二项式为(3x－)6，通项公式为Tr＋1＝C(3x)6－r(－)r＝C36－r·(－1)rx，
令6－r＝0得，r＝4，
所以展开式中的常数项为C36－4·(－1)4＝135，
故选C.
答案：C
6．(2022·光明区校级模拟)现有5个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有(　　)
A．12种 B．16种
C．24种 D．36种
解析：根据题意，设除甲乙丙丁之外的小朋友为A，分2步进行分析：
①将甲乙看成一个整体，与A全排列，有AA＝4(种)情况，
②排好后，有3个空位可用，在其中任选2个，安排丙丁，有A＝6(种)情况，
则有4×6＝24(种)不同的站法，
故选C.
答案：C
7．(2022·惠州一模)现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有(　　)
A．36种 B．18种
C．9种 D．6种
解析：先从3名学生中选2名报同一项目，有C种选法，
再考虑这2名学生所报项目，有C种方案，剩下1名学生有2种选报项目，
共有C·C·2＝18(种)．
故选B.
答案：B
8．(2022·惠州一模)若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则a1＋a2＋…＋a2 022＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(1－2)2 022＝1，
所以a1＋a2＋…＋a2 022＝1－a0＝1－1＝0，
故选B.
答案：B
9．(2022·汕头二模)二项式(＋)24展开式中，有理项共有________项．(　　)
A．3 B．4
C．5 D．7
解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C()24－r()r＝Cx，
令6－∈Z，且r＝0，1，2，3，……24，
则r＝0，4，8，12，16，20，24，
所以展开式的有理项共有7项，
故选D.
答案：D
10．(2022·江门模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰．甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项．若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是(　　)
A．324 B．306
C．243 D．162
解析：甲乙观看的分项都不相同，则有A·A；
甲乙观看的分项相同的是滑雪中的分项，
则有A·A；
甲乙观看的分项相同的是滑冰中的分项，
则有A·A.
综上可得：不同的方案种数是A·A＋A·A＋A·A＝306.
故选B.
答案：B
11．(2022·广州一模)(x＋3y)(x－2y)6的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．60 B．24
C．－12 D．－48
解析：(x－2y)6的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C·(－2)r·x6－r·yr，
令6－r＝4，得r＝2；令6－r＝5，得r＝1.
所以(x＋3y)(x－2y)6展开式中x5y2的系数为C·(－2)2＋3×C×(－2)1＝24.
故选B.
答案：B
12.(2022·广州三模)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　　)

A．480 B．600
C．720 D．840
解析：由题意知本题是一个分步计数问题，首先涂陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果，第二步涂安徽，分类①若安徽与陕西同此时江西有三种，再湖南有三种，即5×4×1×3×3＝180，
②若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有3种涂法，即5×4×3×3×3＝540，
所以共有180＋540＝720(种)涂法．
故选C.
答案：C
13．(多选题)(2022·茂名模拟)已知(2x＋)n的展开式共有13项，则下列说法中正确的是(　　)
A．所有奇数项的二项式系数和为212
B．所有项的系数和为312
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项
D．有理项共5项
解析：由(2x＋)n的展开式共有13项，则n＝12，
对于选项A，由展开式二项式系数和为212，则所有奇数项的二项式系数和为211，即选项A错误；
对于选项B，令x＝1，得(2×1＋)12＝312，即所有项的系数和为312，即选项B正确；
对于选项C，由(2x＋)的展开式共有13项，则二项式系数最大的项为第7项，即选项C错误；
对于选项D，由(2x＋)12展开式的通项公式为Tr＋1＝212－rCx，又0≤r≤12，则r＝0、3、6、9、12时，12－∈Z，即展开式有理项共5项，即选项D正确，
故选BD.
答案：BD
14．(多选题)(2022·深圳模拟)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(　　)
A．a0＝28
B．a1＋a2＋…＋a8＝1
C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
解析：取x＝0，可得a0＝28，故A正确；
取x＝1，可得a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B不正确；
取x＝－1，可得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C不正确；
对已知等式两边对x求导数可得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，
取x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正确．
故选AD.
答案：AD
15．(2022·新高考卷Ⅰ)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为 ________(用数字作答)．
解析：(x＋y)8的通项公式为Tr＋1＝Cx8－ryr，
当r＝6时，T7＝Cx2y6，当r＝5时，T6＝Cx3y5，
所以(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－＝28－56＝－28.
答案：－28
16．(2022·梅州模拟)若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a3等于 ________．
解析：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
所以含x3的项是Cx3·(－1)2·C(－2)5＋Cx2·(－1)3·Cx(－2)4＋Cx·(－1)4·Cx2(－2)3＋C·(－1)5·Cx3(－2)2＝－1 560 x3，
所以a3＝－1 560.
答案：－1 560