人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品第2课时导学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
学习目标 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．
例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
跟踪训练1 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．
二、等差数列中前n项和的最值问题
问题2 根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
知识梳理
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
注意点：(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
三、等差数列中的片段和问题
问题3 等差数列{an}的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
知识梳理
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2).
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
例3 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
跟踪训练3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
(3)等差数列中的片段和问题．
2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
2．等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于( )
A．12 B．18 C．24 D．30
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于( )
A．35 B．32 C．23 D．38
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，eq \f(S2 022,2 022)－eq \f(S2 020,2 020)＝2，则eq \f(S2 021,2 021)＝________.
课时对点练
1．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若eq \f(S8,8)－eq \f(S6,6)＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
2．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为( )
A．30 B．70 C．50 D．60
3．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn( )
A．有最大值且是整数 B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数 D．无最大值和最小值
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 018，Sk＝S2 009，则正整数k为( )
A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020
5．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )
A．4日 B．3日 C．5日 D．6日
6．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
7．已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝________.
8．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
9．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
10．已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,4)，则eq \f(S6,S12)等于( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(7,26) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，eq \f(S15,15)－eq \f(S7,7)＝－8，则Sn取最大值时的n为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于( )
A．6 B．7 C．6或7 D．13
14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
15．已知等差数列{an}，满足a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于( )
A．4 037 B．4 036 C．4 035 D．4 034
16．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))的前n项和Tn.