人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第1课时导学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
§4.3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
导语
某种细胞每隔一定时间就会分裂一次，每个细胞分裂成两个细胞，随着分裂次数的增加，细胞的个数可以组成的数列是1,2,4,8,16，……，这类数列有何特征呢？
一、等比数列的概念
问题1 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98.
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，…；
③－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现eq \f(92,9)＝9，eq \f(93,92)＝9，eq \f(94,93)＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)，…；对于③eq \f(\f(1,4),－\f(1,2))＝－eq \f(1,2)，…；也有相同的取值规律．
知识梳理
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
注意点：(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
(1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…；
(2)10,10,10,10,10，…；
(3)eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4，…；
(4)1,0,1,0,1,0，…；
(5)1，－4,16，－64,256，….
解 (1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为eq \f(2,3)；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4.
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
跟踪训练1 以下数列中，能判定数列是等比数列的有( )
①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a3,a2)＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N*.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 A
解析 ①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③当a＝0时，不是等比数列；
④该数列符合等比数列的定义，是等比数列．
二、等比中项
问题2 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？
提示 不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x,1这三个数成等比数列，则根据定义会有eq \f(x,－1)＝eq \f(1,x)，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数．
知识梳理
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注意点：①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数．
例2 (1)4与9的等比中项为________．
(2)－1和－9的等比中项为________．
答案 (1)±6 (2)±3
解析 (1)由题意，得4与9的等比中项为±eq \r(4×9)＝±6.
(2)－1和－9的等比中项为±eq \r(－9×－1)＝±3.
反思感悟 (1)由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
跟踪训练2 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则eq \f(a,b)的值为( )
A．±eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．1 D．±1
答案 D
解析 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，
所以a＝eq \f(1＋3,2)＝2，b＝±eq \r(1×4)＝±2，
所以eq \f(a,b)的值为±1.
三、等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．
方法一 an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
知识梳理 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
例3 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，故a1＝5.
(3) 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝eq \f(a2,a1)＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2， ①,a1q6＝8， ②))
由eq \f(②,①)得q3＝4，
从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，
于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝.
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比中项的概念．
(4)等比数列的通项公式推广．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列．
1．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
答案 AB
解析 ∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
3．(多选)下列说法正确的有( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D．22,42,62,82，…成等比数列
答案 AC
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，故不是等比数列，D错误．
4．4与16的等比中项是________．
答案 ±8
解析 由G2＝4×16＝64，得G＝±8.
课时对点练
1．数列1，－eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2)，－eq \f(\r(2),4)，eq \f(1,4)，…的一个通项公式为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))n
C.(－1)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))n－1 D.(－1)n＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))n－1
答案 D
解析 根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－eq \f(\r(2),2)为公比的等比数列，
所以该数列的通项公式为1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))n－1＝(－1)2×(－1)n－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))n－1＝(－1)n＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))n－1.
2．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
答案 C
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝eq \f(a4,q)＝32.
3．2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案 C
解析 设2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1，∴G＝±1.
4．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B．54 C．36 D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
5．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
答案 A
解析 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，
(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.
第3项为－12，公比为eq \f(－12,－6)＝2，
故数列的第4项为－24.
6．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
7．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 根据题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1.
9．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
解 (1)∵eq \f(a7,a3)＝eq \f(a1q6,a1q2)＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝eq \r(2)，
∴an＝a3·qn－3＝4·(eq \r(2))n－3＝(n∈N*)．
(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
10．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
解 (1)因为eq \f(a5,a3)＝eq \f(a1q4,a1q2)＝q2＝eq \f(8,2)＝4，
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，
所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0，
则由b2＝ac，可得eq \f(a,b)＝eq \f(b,c)，所以a，b，c成等比数列，
反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac，
所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．
12．已知实数1，m,9成等比数列，则椭圆eq \f(x2,m)＋y2＝1的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B．2 C.eq \f(\r(6),3)或2 D.eq \f(\r(2),2)或eq \r(3)
答案 A
解析 ∵1，m,9构成一个等比数列，
∴m2＝1×9，
则m＝±3.
当m＝3时，圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1是椭圆，它的离心率是eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)；
当m＝－3时，圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1是双曲线，故舍去，
则离心率为eq \f(\r(6),3).
13．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )
A．8 B.eq \f(1,2) C．8或2 D．8或eq \f(1,2)
答案 D
解析 不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为eq \f(1,2).
14．在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.
答案 －4
解析 由题意，得(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1，
当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件．
当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件．
故答案为－4.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，
由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，②
当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式．
解 选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,2a1＋5d＝6a1d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(25,6)，,d＝\f(5,12)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1d＝2，,2a1＋5d＝3a1d2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝－2))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，
所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝9，,2a1＋7d＝8a1d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(21,8)，,d＝\f(3,8)))(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.