高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第3课时导学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第3课时 等比数列的性质
学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
导语
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．
一、由等比数列构造新等比数列
问题1 结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
知识梳理
1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq \f(1,q)，q2.
3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq \f(p,q).
注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．
例1 如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\r(3,an)))
C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1}
跟踪训练1 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
二、等比数列中任意两项之间的关系
问题2 结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
知识梳理
等比数列通项公式的推广和变形an＝amqn－m.
例2 在等比数列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
跟踪训练2 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．2或eq \f(1,2) D．－2或eq \f(1,2)
(2)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则eq \f(a9－a10,a5－a6)等于( )
A．16 B．8 C．4 D．2
三、等比数列中多项之间的关系
问题3 结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？
知识梳理
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
例3 已知{an}为等比数列．
(1)若{an}满足a2a4＝eq \f(1,2)，求a1aeq \\al(2,3)a5；
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值．
跟踪训练3 (1)公比为eq \r(3,2)的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则lg2a16等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
1．知识清单：
(1)由等比数列构造新的等比数列．
(2)等比数列中任意两项之间的关系．
(3)等比数列中多项之间的关系．
2．方法归纳：公式法、类比思想．
3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
4．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当eq \f(1,a2)＋eq \f(4,a4)取最小值时，数列{an}的公比是________．
课时对点练
1．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则eq \f(a7,a3)等于( )
A．4 B．2 C．5 D.eq \f(5,2)
2．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于( )
A．6 B．2 C．2或6 D．－2
3．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)或－eq \f(2,3)
4．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则eq \f(a\\al(2,9),a12)的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
A．2 B.eq \f(67,66) C．3 D.eq \r(3)
6．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )
A．{aeq \\al(2,n)}是等比数列
B．{anan＋1}是等比数列
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比数列
D．{lg|an|}是等比数列
7．在正项等比数列{an}中，若3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq \f(a2 021－a2 020,a2 023－a2 022)＝________.
8．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________.
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
10．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
11．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则lg3(a1a2·…·a9)等于( )
A．38 B．39 C．9 D．7
12．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
13．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于( )
A．±2 B．±4 C．2 D．4
14．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
15．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则eq \f(a20,a10)＝________.
16．已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值．