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数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀同步测试题
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这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀同步测试题，文件包含拓展二空间向量基底法在立体几何问题中的应用-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册解析版docx、拓展二空间向量基底法在立体几何问题中的应用-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用
空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模已知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.
纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.
因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的
广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.
知识点1 “三个”定理
共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
(1)线线平行：
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行：
l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0.
(3)面面平行：
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.
(4)线线垂直：
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
(5)线面垂直：
l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1.
(6)面面垂直：
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
知识点3 空间距离及向量求法
分类
点到直线的距离
点到平面的距离
图形语言
文字语言
设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则
PQ＝＝
设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
知识点4 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
考点一 平行垂直问题
解题方略：
对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择.
【例1-1】如图，平面，，，，，．
求证：平面；
【解析】方法一：空间向量法
证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面
方法二：基底法
证明：如图所示，因为，所以，又因为，，所以，所以和共面，又，所以.
【例1-2】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：
．
【解析】方法一：通过线面垂直证线线垂直
在直三棱柱中，是的中点，．
，
直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，
平面，．
方法一：基底法
证明：如图所示,在直三棱柱中，，又因为，为AC的中点，所以，所以，所以.
考点二 角度问题
解题方略：
通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的"惯例"，这也是对考生数学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能够起到柳暗花明的效果.
【例2-1】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解析】方法一：空间向量法
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则有：，0，，，0，，，0，，，1，，
所以，1，，，0，，
设，的夹角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为，
故选：．
方法二：基底法
如图，，，，记与所成角为，则，故选A
【例2-2】如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．若，求二面角的正弦值．
【解析】方法一：空间向量法
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，平面，，
，，
，，
则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，面，
故取平面的法向量为，0，，
设平面的法向量，，，
由，得，取，得，，，
，
二面角的正弦值为．
方法二：基底法
如图：记分别为，二面角的平面角为，平面的一个法向量，由和得在矩形中，因为E为中点，显然，又因为，，所以，，所以，即是平面BCE的一个法向量，从而，所以二面角的正弦值为.
考点三 距离问题
解题方略：
距离问题常以给出角度求距离的方式变相考查角度问题，另外在角度问题中涉及到的向量求模问题也是对距离问题的一种隐性考查.
【例3-1】如图，且，，且，且，平面，．若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
【解析】方法一：空间向量法
证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，
轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，0，，，0，，，2，，，2，，
，0，，，1，，，0，，，，，，0，．
设线段的长为，，则点的坐标为，0，，
可得，而为平面的一个法向量，
故．由题意，可得，解得，．
线段的长为．
方法二：基底法
如图，取平面ADGE的一个法向量，因为直线BP与平面ADGE所成的角为，DC=2，所以在的投影为，所以，又BC=1，所以，所以解得从而线段DP的长为
【例3-2】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，是的中点．则点到平面的距离为 ．
【解析】方法一：空间向量法
直四棱柱的底面是菱形，
，，，是的中点．
则，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，0，，，，，
，，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
点到平面的距离为：
．
故答案为：．
方法二：基底法
如图，如图：记分别为，平面的一个法向量，由和得则点C到平面的距离即为在n方向的投影的绝对值，所以点到平面的距离为：
考点四 位置关系问题
解题方略：
空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形象和具体.
【例4-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
【解析】证明：（Ⅰ）平面，，
，，
平面．
解：（Ⅱ）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，
，0，，，，，
，1，，，
平面的法向量，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
（Ⅲ）方法一：空间向量法
直线在平面内，理由如下：
点在上，且．，，，
，，，
平面的法向量，1，，
，
故直线在平面内．
方法二：基底法
直线AG在平面AEF内，说明如下：如图，记分别为，平面的一个法向量，由和得又，所以，所以，所以AG在平面AEF内.
【例4-2】图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
证明：图2中的，，，四点共面
【解析】方法一：基本事实
证明：由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
方法二：基底法
证明：在图1中，因为四边形ADEB和BFGC分别为矩形和平行四边形，所以,又因为在图2中，所以从而，，，，四点共面，
题组A 基础过关练
1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
2、在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.
【解析】（1）依题意，因是的中点，在上，且，
则
，
所以；
（2）因，，，
即，则，，，
由(1)知：，
所以的长是.
3、如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
【解析】四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
4、如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：．
【解析】证明：设，，，
则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．
所以，．
所以．
所以．
5、如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【解析】证明：（1）
∴.
（2）.
6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:
（1）AB1⊥BC；
（2）A1C⊥平面AB1C1.
【解析】证明：（1）易知<>=120°，=+，
则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.
所以AB1⊥BC.
（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.
因为·=(-)·(-)
=(-)·(--)
=·-·-·-·+·+·
=·-·-·+·
=2×2×-4-2×2×+4=0，
所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.
7、如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
8、如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，.
(1)用，，分别表示向量，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)如图，设正四面体棱长为1，
则，
；
(2)由(1)知，，.
又.
设异面直线与所成角为，
则
.
9、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
【解析】(1)由题图，知：，，
∴，即.
(2)设，又，，
∴，故，
，故，
∴，
∴，则与所成角的余弦值为.
题组B 能力提升练
1、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E是线段CD的中点，O在线段BE上，且，设，，．以为基底，用向量法解决下列问题．
（1）用基底表示向量；
（2）证明：平面BCD；
（3）求点A到平面BCD的距离．
【解析】（1）
．
（2）由题知，，．
，∴．
，∴．
又∵平面BCD，且，∴平面BCD．
（3）由（2）知，点A到平面BCD的距离为
．
2、二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.
【解析】设平面与平面的夹角为，因为，，
所以，由题意得，所以
所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.
故答案为：
3、如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
【解析】，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
4、如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点.若，，.
(1)用，，表示，并求的长；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)由题意得
因为，所以，
，
所以
.
(2)，所以，
所以
，
因为异面直线所成的角的范围是 ，
所以与所成角的余弦值为.
5、如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
【解析】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
题组C 培优拔尖练
1、在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.
（1）求AM的长；
（2）求的余弦值.
【解析】（1），
∴，
∴.
（2），，
，
.
2、如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【解析】(1)因为，，，
所以.
(2)因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
3、如图，平行六面体中，，，，
(1)求对角线的长度；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】(1)由题意知，
在中，，，以向量，，为基底，①，，
同理可得，
①式平方，得，
，同理可得，
所以.
(2)在中，，，
又，所以为等边三角形，
所以，故为等边三角形，
取中点，连接，则，又，②，
设二面角为，则，
②式两边同时平方，
得，
所以，.
所以二面角的余弦值为.
拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用
空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模已知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.
纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.
因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的
广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.
知识点1 “三个”定理
共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
(1)线线平行：
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行：
l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0.
(3)面面平行：
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.
(4)线线垂直：
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
(5)线面垂直：
l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1.
(6)面面垂直：
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
知识点3 空间距离及向量求法
分类
点到直线的距离
点到平面的距离
图形语言
文字语言
设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则
PQ＝＝
设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面上的投影向量，
PQ＝＝
知识点4 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则
cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
考点一 平行垂直问题
解题方略：
对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择.
【例1-1】如图，平面，，，，，．
求证：平面；
【解析】方法一：空间向量法
证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面
方法二：基底法
证明：如图所示，因为，所以，又因为，，所以，所以和共面，又，所以.
【例1-2】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：
．
【解析】方法一：通过线面垂直证线线垂直
在直三棱柱中，是的中点，．
，
直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，
平面，．
方法一：基底法
证明：如图所示,在直三棱柱中，，又因为，为AC的中点，所以，所以，所以.
考点二 角度问题
解题方略：
通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的"惯例"，这也是对考生数学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能够起到柳暗花明的效果.
【例2-1】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解析】方法一：空间向量法
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则有：，0，，，0，，，0，，，1，，
所以，1，，，0，，
设，的夹角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为，
故选：．
方法二：基底法
如图，，，，记与所成角为，则，故选A
【例2-2】如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．若，求二面角的正弦值．
【解析】方法一：空间向量法
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，平面，，
，，
，，
则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，面，
故取平面的法向量为，0，，
设平面的法向量，，，
由，得，取，得，，，
，
二面角的正弦值为．
方法二：基底法
如图：记分别为，二面角的平面角为，平面的一个法向量，由和得在矩形中，因为E为中点，显然，又因为，，所以，，所以，即是平面BCE的一个法向量，从而，所以二面角的正弦值为.
考点三 距离问题
解题方略：
距离问题常以给出角度求距离的方式变相考查角度问题，另外在角度问题中涉及到的向量求模问题也是对距离问题的一种隐性考查.
【例3-1】如图，且，，且，且，平面，．若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
【解析】方法一：空间向量法
证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，
轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，0，，，0，，，2，，，2，，
，0，，，1，，，0，，，，，，0，．
设线段的长为，，则点的坐标为，0，，
可得，而为平面的一个法向量，
故．由题意，可得，解得，．
线段的长为．
方法二：基底法
如图，取平面ADGE的一个法向量，因为直线BP与平面ADGE所成的角为，DC=2，所以在的投影为，所以，又BC=1，所以，所以解得从而线段DP的长为
【例3-2】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，是的中点．则点到平面的距离为 ．
【解析】方法一：空间向量法
直四棱柱的底面是菱形，
，，，是的中点．
则，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，0，，，，，
，，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
点到平面的距离为：
．
故答案为：．
方法二：基底法
如图，如图：记分别为，平面的一个法向量，由和得则点C到平面的距离即为在n方向的投影的绝对值，所以点到平面的距离为：
考点四 位置关系问题
解题方略：
空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形象和具体.
【例4-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
【解析】证明：（Ⅰ）平面，，
，，
平面．
解：（Ⅱ）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，
，0，，，，，
，1，，，
平面的法向量，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
（Ⅲ）方法一：空间向量法
直线在平面内，理由如下：
点在上，且．，，，
，，，
平面的法向量，1，，
，
故直线在平面内．
方法二：基底法
直线AG在平面AEF内，说明如下：如图，记分别为，平面的一个法向量，由和得又，所以，所以，所以AG在平面AEF内.
【例4-2】图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
证明：图2中的，，，四点共面
【解析】方法一：基本事实
证明：由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
方法二：基底法
证明：在图1中，因为四边形ADEB和BFGC分别为矩形和平行四边形，所以,又因为在图2中，所以从而，，，，四点共面，
题组A 基础过关练
1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．AC1=6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以·=·=·=6×6×cos 60°=18，
(++)2=+++2·+2·+2·
=36+36+36+3×2×18=216，
则||=|++|=6， 所以A正确；
·=(++)·(-)
=·-·+-·+·- =0，所以B正确；
显然△AA1D 为等边三角形，则∠AA1D=60°.
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为=+-=+ ，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选:AB.
2、在三棱锥中，是的中点，在上，且，，，，
（1）试用，，表示向量；
（2）若底面是等腰直角三角形，且，，求的长.
【解析】（1）依题意，因是的中点，在上，且，
则
，
所以；
（2）因，，，
即，则，，，
由(1)知：，
所以的长是.
3、如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
【解析】四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
4、如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：．
【解析】证明：设，，，
则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．
所以，．
所以．
所以．
5、如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【解析】证明：（1）
∴.
（2）.
6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:
（1）AB1⊥BC；
（2）A1C⊥平面AB1C1.
【解析】证明：（1）易知<>=120°，=+，
则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.
所以AB1⊥BC.
（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.
因为·=(-)·(-)
=(-)·(--)
=·-·-·-·+·+·
=·-·-·+·
=2×2×-4-2×2×+4=0，
所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.
7、如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
8、如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，.
(1)用，，分别表示向量，；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)如图，设正四面体棱长为1，
则，
；
(2)由(1)知，，.
又.
设异面直线与所成角为，
则
.
9、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
【解析】(1)由题图，知：，，
∴，即.
(2)设，又，，
∴，故，
，故，
∴，
∴，则与所成角的余弦值为.
题组B 能力提升练
1、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E是线段CD的中点，O在线段BE上，且，设，，．以为基底，用向量法解决下列问题．
（1）用基底表示向量；
（2）证明：平面BCD；
（3）求点A到平面BCD的距离．
【解析】（1）
．
（2）由题知，，．
，∴．
，∴．
又∵平面BCD，且，∴平面BCD．
（3）由（2）知，点A到平面BCD的距离为
．
2、二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.
【解析】设平面与平面的夹角为，因为，，
所以，由题意得，所以
所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.
故答案为：
3、如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．6π B．10π C．8π D．12π
【解析】，，
，
又、、两两相互垂直，
，即，
，，
，则为直角三角形，
又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：C．
4、如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点.若，，.
(1)用，，表示，并求的长；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)由题意得
因为，所以，
，
所以
.
(2)，所以，
所以
，
因为异面直线所成的角的范围是 ，
所以与所成角的余弦值为.
5、如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
【解析】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
题组C 培优拔尖练
1、在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.
（1）求AM的长；
（2）求的余弦值.
【解析】（1），
∴，
∴.
（2），，
，
.
2、如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【解析】(1)因为，，，
所以.
(2)因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
3、如图，平行六面体中，，，，
(1)求对角线的长度；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】(1)由题意知，
在中，，，以向量，，为基底，①，，
同理可得，
①式平方，得，
，同理可得，
所以.
(2)在中，，，
又，所以为等边三角形，
所以，故为等边三角形，
取中点，连接，则，又，②，
设二面角为，则，
②式两边同时平方，
得，
所以，.
所以二面角的余弦值为.
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