拓展三：空间向量中动点的设法 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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拓展三：空间向量中动点的设法

立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值.





知识点1 空间向量可解决的立体几何问题
用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量
1、判定（证明）类
（1）线面平行：
（2）线面垂直：
（3）面面平行：
（4）面面垂直：
2、计算类：
利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
或（视平面角与法向量夹角关系而定）
④点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.

知识点2 空间向量动点的设法
在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：
1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标
2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标
（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标
规律：维度=所用变量个数
3、如何减少变量：
（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 ()
例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量
因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键）
，即——仅用一个变量表示
注：①若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与轴平行的直线处理方式大致相同）
②若点在直线上，且直线在平面上，则点的竖坐标为0，若已知直线上的两点坐标，除了使用，还可以在平面上表示出直线的方程，得到的关系，则引入一个参数（注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。(同理若直线在平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）
③若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。
（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：
例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即

考点一 动点的设法
（一）动点在轴上
若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，若点在轴上可设点为，注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与轴平行的直线处理方式大致相同）

【例1-1】在边长为2正方体中：

（1）求证平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段AB上是否存在一点M（不与端点重合，使得二面角所成平面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．





变式1：如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.



(Ⅰ)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
(Ⅱ)求二面角E­BC­F的正弦值；
(Ⅲ)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．





变式2：(2019·天津卷)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，
AE＝BC＝2.



(Ⅰ)求证：BF∥平面ADE；
(Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角E­BD­F的余弦值为，求线段CF的长．







（二）动点在平面的直线上
若点在直线上，且直线在平面上，则点的竖坐标为0，若已知直线上的两点坐标，除了使用，还可以在平面上表示出直线的方程，得到的关系，则引入一个参数（注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。(同理若直线在平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）

【例1-2】如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．



(Ⅰ)证明：PO⊥平面ABC；
(Ⅱ)若点M在棱BC上,且二面角M­PA­C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值．







（三） 动点在空间的斜线上
平面向量共线定理——若使得 ()

【例1-3】在四棱锥中，平面平面ABCD，为等边三角形，，， ，点M是PC的中点.

（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.



变式1：如图，四棱锥的底面是菱形，，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若，棱上一点满足，求直线与平面所成角的正弦.






变式2：如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E，F分别是，的中点.

（Ⅰ）若D是的中点，求证：平面AEF；
（Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.
变式3：如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.





变式4：如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且

(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值.
（四） 动点在面内
【例1-4】四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）为中点，在四边形所在的平面内是否存在一点，使得平面，若存在，求三角形的面积；若不存在，请说明理由.




变式1：已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，

（1）证明:平面PBD平面ABCD；
（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.



考点二 与动点有关的最值问题

（一）单个动点，动点坐标含一个变量
对于单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标，如果该动点的坐标只含有一个变量，则将目标函数表示成该变量的一元函数模型，借助函数求最值的方法求解.要特别注意变量的取值范围.
【例2-1】如图：正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，若点为线段上的动点(不包括端点)，设异面直线与所成角为，则的取值范围是________.




【例2-2】已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，，分别是，中点，点在棱上移动．

(1)证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角最大，若存在，试确定点的位置.






变式1：如图，在四棱锥中，底面，，点在棱上，,点在棱上，.

(1)若，为的中点，求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值.






（二） 单个动点，动点坐标含两个变量
对于单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标，如果该动点的坐标含有两个变量，则考虑两个变量的几何意义，或者借助减元的思想减少变量.
【例2-3】如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（       ）

A． B． C．2 D．



变式1：已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.



（三）双动点
对于双动点问题，一般是设出其中一个较为简单的动点的坐标（此时含一个变量），对于另外一个较为复杂点的坐标，则不必设出，可以借助向量的线性运算进行转化，从而得到所需的向量（用坐标表示，此时还有一个变量）.最后将待求目标表示成为含两个变量的函数模型，借助完全平方式的性质求出最值.
【例2-4】如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点，则线段的最小值为　　．






题组A 基础过关练
1、如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．







2、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AB=AA1=2．

(1)求证A1B⊥B1C；
(2)M、N分别为棱CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．





3、已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体．

（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．




4、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值.
题组B 能力提升练
5、如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）点在线段上，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？



6、如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.

（1）证明：平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.



7、如图，在直三棱柱中，，分别是棱 的中点，点在线段上.

(1)当直线与平面所成角最大时，求线段的长度；
(2)是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由.




8、如图，在直四棱柱中，底面为菱形，.

(1)点P为直线上的动点，求证：；
(2)点P为直线上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值.


题组C 培优拔尖练

9、如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点

（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．




10、在四棱柱中，底面是正方形，且，．
（1）求证：；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．




11、直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，.点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________.


12、已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________.




13、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使二面角大小为?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.



14、已知四棱锥的底面是直角梯形，，为的中点，.

（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.





15、如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为等腰梯形， ，二面角为直二面角．

(1)求证：；
(2)若为等边三角形，当点M在棱BC上运动时，记直线SM与平面SAD所成角为，当最小时，求的值．