高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品习题

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1.1.1 空间向量及其运算

课程标准
课标解读
1．理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.
2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断..





知识点1 空间向量的有关概念
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：
（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
3．几类特殊的空间向量
名称
定义
表示法
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量
记为0
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
|a|＝1或||＝1
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量
记为－a
共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
a∥b或∥
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
a＝b或 ＝
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
易错辨析：
（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．
（2）单位向量都相等？单位向量长度相等，方向不确定
（3）共线的单位向量都相等? 共线的单位向量是相等向量或相反向量
（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球
（5）任一向量与它的相反向量不相等？零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．
（6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定
（7）若向量，满足||>||，则>？向量不能比较大小
（8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行
（9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？向量的相等满足传递性
（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同
【即学即练1】【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（       ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量，，满足，，则
【解析】依据向量相等的概念，选项A判断错误；
若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确；
依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确；
依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确.
故选：BCD.

【即学即练2】如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)

A.与 B.与 C.与 D.与
【解析】对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误；
对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误；
对于C，与的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误；
对于D，与的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．故选D


知识点2 空间向量的线性运算
（一）空间向量的加减运算
加法运算
三角形
法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述

平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述

减法运算
三角形
法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述

加法运算
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

注意点：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；

（二）空间向量的数乘运算
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
λ>0
λa与向量a的方向相同

λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0
λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
分配律
(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb

注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．
(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．
(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．
(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．

【即学即练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算结果为的有________个．
【解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.

【即学即练4】已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是的为(　　)
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
【解析】选项A中，＋＋＝＋＝；选项B中，＋＋＝＋(＋)＝＋＝；选项C中，＋＋＝＋＝；选项D中，＋＋＝＋(＋)＝＋≠.故选D.

【即学即练5】在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
【解析】如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.






知识点3　共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量
共面向量
定义
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量
注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.

平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．
1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有
用途
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
2.直线l的方向向量
如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

3.与空间向量的线性运算相关的结论
(1)＝－.
(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有＝＋＋.
(3)若O为空间中任意一点，则
①点P是线段AB中点的充要条件是＝(＋)；
②若G为△ABC的重心，则＝(＋＋)．

易错辨析：
（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面
（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？在平面内共线的向量在空间一定共线
（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线
【即学即练6】已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即.
故选：B.

【即学即练7】在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.
⑤若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，对于⑤,若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故⑤错误．
所以选A

【即学即练8】对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
【解析】由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B



考点一 空间向量的概念辨析
解题方略：
空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．　　　　
【例1-1】下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||>||，则>
D．相等向量其方向必相同
【解析】A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
故选D

变式1：【多选】下列命题为真命题的是(　　)
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
【解析】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．
故选BC

变式2：下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＜|b|，则a＜b
B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C．空间内两平行向量相等
D．四边形ABCD中，－＝
【解析】向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．故选D


【例1-2】如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
【解析】(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝3.


变式1：如图，在长方体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）

A． B．
C． D．
【解析】连接交于点，连接，

对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：A.


变式2：向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
【解析】向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.


变式3：【多选】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　)
A．＋与＋是一对相反向量
B．－与－是一对相反向量
C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D．－与－是一对相反向量
【解析】∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，∴A、C正确；∵－＝，－＝D1A1―→，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．

考点二 空间向量的线性运算
解题方略：
1、解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2) 首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
2、空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
3、利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
【例2-1】已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：

(1)＋＋′；
(2) ′－＋；
(3)＋＋(′－)．
【解析】(1)＋＋′＝＋＋′＝′；
(2)′－＋＝′－(－)＝′－＝′；
(3)＋＋(′－)＝＋(′＋)＝＋′.

设M是线段CB′中点，则＋＋(′－)＝＋＝.
向量′，′，如图所示．

变式1：若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
【解析】(1)＋＋＝－＋＝＋，
设P是线段CC′的中点，则
＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝ ＋(＋)＝＋
设Q是线段的中点，则
＋＋＝＋＝＋＝，向量， 如图所示．
变式2：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是(　　)
A．＋＋ 　　　　 B．－＋
C．＋＋ D．＋＋
【解析】在选项C中，＋＋＝(＋)＋＝0.故选C

变式3：【多选】如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)

A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
【解析】A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.


变式4：如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．

(1)＋－；
(2)－－.
【解析】(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.

(2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.


【例2-2】设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
【解析】∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四边形ABCD为平行四边形．故选A


【例2-3】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3).
【解析】(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.

变式1：如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【解析】由题意得，.
故选：D

变式2：正六棱柱中，设，，，那么等于（       ）
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱中，
,故选：B

变式3：如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________.

【解析】在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
则＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋－
＝＋＋
＝a＋b＋c.

变式4：在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（       ）．

A． B．
C． D．
【解析】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确；
因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确；
因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确；
因为，所以D不正确．
故选：D

【例2-4】已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解析】(1)由图可知，＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.∵＋＝2，∴＝2－，
∴＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.

变式1：如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．

【解析】法一：＝－＝－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋，
∴x＝，y＝－.
法二：因为＝＋＋＝－＋－－＝－＋
＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
所以x＝，y＝－.


考点三 空间向量共线问题
解题方略：
1．要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ (λ∈R)．
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)．
(3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)．　　　　
【例3-1】若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.故选A

【例3-2】设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共线，∴解得k＝－8.

变式1：已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【解析】，而，
所以，故B，C，D三点共线．


【例3-3】如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．



【解析】因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，
以上两式相加得＝2，所以∥，
即与共线．

变式1：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.
∵＝，

∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线.

考点四 空间向量共面问题
解题方略：
1．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) ＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)∥ (或∥或∥)．　　　　

【例4-1】如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）

【解析】由图可知：.
则向量与、共面.
故答案为：共面

【例4-2】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
【解析】∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．故选C

变式1：下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.

变式2：对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若有＝x＋y＋z，则“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若x＋y＋z＝1，则＝(1－y－z)·＋y＋z，即＝y＋z，由共面向量定理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当点O与点A重合时，＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．故选B

变式3：O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为:

变式4：已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由向量共面定理可知：，解得：.
故选：A

变式5：已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】

由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
【例4-3】已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．
证明：令＝x＋y，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.
∵e1和e2不共线，∴解得
∴＝＋，∴A，B，C，D四点共面．


变式1：如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
【证明】设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为的中点，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．


变式2：已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明：如图，连接EG，BG.

(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

变式3：如图，在四面体A­BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.
证明：法一：过P，Q分别作PS∥AD交BD于点S，QT∥AD交CD于点T，连接ST(图略)，
则＝，＝.
因为＝，所以＝，
所以四边形PQTS是平行四边形，则＝.
又PQ⊄平面BCD，ST⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
法二：由图形易得＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)＋＋＋
＝(＋＋)＋＋＋
＝(＋)＋
＝＋.
根据空间向量共面的定义，，，共面，
又因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.


题组A 基础过关练
1、如图，在平行六面体中，　　

A． B． C． D．
【解析】为平行四面体，
．
故选：．

2、【多选】如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是　　

A． B．
C． D．
【解析】对于选项：，故选项正确．
对于选项：，故选项正确．
对于选项：，故选项正确．
对于选项：，故选项错误．
故选：．

3、如图，在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．
【解析】由于，，，则，
故：；
故选：．

4、如图：在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量　　

A． B． C． D．
【解析】由题意得：





故选：．

5、如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则　　

A． B． C． D．
【解析】如图所示：取的中点，由于，，
所以：．
故选：．


6、设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为　　．
【解析】，，，
，
又，，三点共线，，
，，
故答案为：．

7、在正方体中，下列各组向量与共面的有　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】在正方体中，
对于，与平面相交，，与不共面，故错误；
对于，与平面相交，，，与不共面，故错误；
对于，，平面，平面，
平面，，与共面，故正确；
对于，与平面相交，，与不共面，故错误．
故选：．


8、设，，，为空间中的四个点，则“”是“，，，四点共面”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】，，，为空间中的四个点，
①当时，则，，，四点共面，
②当，，，四点中有三点共线时，满足，，，四点共面，但不满足，
是，，，四点共面的充分不必要条件，
故选：．

题组B 能力提升练
1、如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，为中点，则等于　　

A． B． C． D．
【解析】为中点，为中点，
，，
，
故选：．

2、在三棱锥中，，，，点在棱上，且，为中点，则等于　　
A． B． C． D．
【解析】三棱锥体中，，，，
点在棱上，且，为中点，
所以，，
故．
故选：．

3、如图，在正方体中，，，，为底面的中心，为△的重心，则　　

A． B． C． D．
【解析】在正方体中，
，，，为底面的中心，为△的重心，


．
故选：．

4、下列条件中，一定使空间四点、、、共面的是　　
A． B．
C． D．
【解析】对于选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于选项，，，所以点与、、三点共面．
故选：．

5、已知，，三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，那么　　．
【解析】由题意，，三点不共线，点是平面外一点，
若由向量确定的点与，，共面，

解得
故答案为：

6、如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．

【解析】（1）；
（2）；
（3）．

题组C 培优拔尖练
1、设是所在平面外的一点，是的重心，求证：．

【解析】证明：


2、已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为　　

A． B． C．1 D．
【解析】由题可知，，
所以，
所以，所以，
故选：．

3、如图所示，在平行六面体中，，．试运用向量方法证明：，，三点共线．

【解析】证明：【方法一】在平行六面体中，
连接，，．因为，，
所以

；


，
显然，，所以，
又，所以，，三点共线．

【方法二】证明：在平行六面体中，
连接，．由题意，，，
易得，
所以．又，故，，三点共线．