拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型

空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离.



知识点1 空间中距离的定义及分类
1、定义
（1）点到点的距离，是指两点之间线段的长度.
（2）点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度.
（3）两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度.
（4）点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度.
（5）相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度.
（6）两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度.
（7）异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度.
注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.
④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离

2、分类情况
（1）点到点的距离;
（2）点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离;
（3）点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离;
（4）异面直线之间的距离.

知识点2 利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法
（1）点到点的距离
方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离
具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量；
②计算；
③距离
（2）点到直线的距离
方法1：过点P向直线作垂线，垂足为点Q，计算即为点P到直线的距离
具体步骤：①在直线上作点Q，使得；②作出；③计算；④距离


方法2：作直线上的一个方向向量，计算在方向向量上的投影，在通过勾股定理计算出的长度，即为点到直线的距离
具体步骤：①在直线上取定两点A，B，得出向量，；
②计算在上的投影；③利用勾股定理计算；④距离

（3） 点到平面的距离
方法：如图，在平面内取点A得出向量，计算平面的一个法向量，再计算在上的投影的绝对值，即为点到平面的距离
具体步骤：①在平面内取点A的出向量；②利用平面内两条相交直线的方向向量，计算出平面的一个法向量；③计算在上的投影；④


（4） 异面直线之间的距离
如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离.
具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④

注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）.



考点一 点到点的距离
【例1-1】如图，正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点．求证：OM分别与异面直线，垂直，并求OM的长．

【解析】

如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以
.

【例1-2】如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点．

(1)求直线与直线所成的角余弦值；
(2)若底面上的点满足平面，求线段的长度．
【解析】(1)如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设直线与直线所成的角为，
则,
(2)假设在底面上存在点，使得平面，设，
因为，
所以，
由得，，
即 ，解得，即，
所以，，
故线段的长度为.


考点二 点到直线的距离
【例2-1】在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
【解析】依题意得，
则到直线的距离为
故答案为：

变式1：已知在正方体中，棱长为2，E为的中点.则点到直线的距离为____.
【解析】如图，建立空间直角坐标系，

则，故，
，
，
点到直线的距离为.
故答案为：

变式2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为的中点.

（1）求异面直线与间的夹角的余弦值：
（2）在侧面找一点N，找平面，并求出到的距离.
【解析】（1）分别以A为原点，，，为x､y､z建立空间直角坐标系.
可得，，，，
从而，，设与的夹角为，有：

所以异面直线与间的夹角的余弦值为
（2）由于N点在面中，故设其坐标为.
则.由面得：
或，解得，即
所以，令与得夹角为.
则，
因此N到的距离


变式3：如图所示，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．

(1)求和面所成的角的正弦；
(2)求点C到直线的距离；
【解析】（1）因为、、两两垂直，建立如图坐标系，

则，，，，，
则
设平面的法向量，
则令，则，，所以，
向量和所成角的余弦为．
即和面所成的角的正弦值为．
(2)因为，，所以，，，所以点C到直线的距离

变式4：如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到直线的距离；
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
因为四边形为矩形，
则且，
因为，分别是，的中点，
则且，
又是正方形的中心，
则，
所以且，
则四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，
因为平面，
则平面的一个法向量为，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，，
则，，
所以，
所以点到直线的距离为；

考点三 点到平面的距离
【例3-1】已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ）
A． B．2 C． D．
【解析】依题意，，所以点P到平面的距离为.
故选：D

【例3-2】如图，已知四棱锥中，平面，，，且，，是的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点D到平面的距离.
【解析】（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，故，，
，即，
故异面直线与所成角为；

（2）在平面中，∵，，∴，
∵，∴，由得，
∴，又∵，∴，又∵平面，
∴是平面的一个法向量，所以点D到平面的距离

变式1：在二棱柱中，平面平面，，四边形为菱形，且，，分别是棱，的中点，.

（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求到平面的距离.
【解析】取的中点，连接，，，则，又，所以，
由题意知为等边三角形，又点为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，4分
所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系(如图)，则，，，，，，
所以，，，，.

（1）设异面直线和所成角为，则.
（2）设平面的法向量为，则即
令，得，，所以，
所以点到平面的距离.

变式2：如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)在三棱柱中，，平面，平面，则平面，又平面平面，平面，于是得，
而平面平面，平面平面，平面平面，则，
所以四边形为平行四边形.
(2)在平面内过点A作，因平面平面，平面平面，
于是得平面，又，以点A为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，

因，，则，
，
，
设平面的法向量，则，令，得，
点B到平面的距离，解得，
因此，，而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

变式3：如图，在四棱锥中，∥,，,为边的中点，异面直线与所成的角为90°．


(1)在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值；
(2)若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
【解析】(1)∥,，,为边的中点，所以四边形是正方形，
因为,异面直线与所成的角为90°,
所以,
又因为在平面内相交，
所以平面,建立如图所示的坐标系：


设，,则，
令，
因为，，
所以是平面PBE的法向量.
要使平面PBE，
只需，
解得：；
(2),
因为∥,
又因为平面PBE, 平面PBE,
所以∥平面PBE,
所以到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，
于是，
解得：，
所以,,
令，
因为，
所以是平面的法向量，
由(1)可知平面的法向量，
因为平面与平面的夹角为锐角，
所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为：.


考点四 异面直线之间的距离
【例4-1】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.


变式1：如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得，其中，，，，若如图所示建立空间直角坐标系.

（1）求异面直线与所成的角；
（2）求点到截面的距离.
【解析】（1）由题意知，，，，
∴，
，，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.
（2）设平面的一个法向量，
∵，，
∴令，则，，
∴，
又∵，∴，
∴点到平面的距离.


变式2：如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点.

(1)求证：，.
(2)求证：是异面直线与的公垂线段.
(3)求异面直线与的距离.
【解析】(1)以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，,,.
所以，，.
因为，所以，即；
因为，所以，即；

(2)因为，，.
所以，所以，即;
，所以,即.
又,
所以是异面直线与的公垂线段.
(3)由（2）可知：是异面直线与的公垂线段，
所以异面直线与的距离即为.
即异面直线与的距离为.


题组A 基础过关练
1、长方体中，，，则点B到平面的距离为________．
【解析】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，所以，， ，，，，
设平面的法向量为：
，
，令得：
又
点B到平面的距离为：.
故答案为：.

2、如图，在正方体中，棱长为2，为的中点.

(1)求到平面的距离.
(2)若面，求.
【解析】(1)如图，以A为坐标原点， 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则 ,
因为正方体中，平面,
所以平面,则到平面的距离即为到平面的距离，
而 ，
设平面的法向量为 ，则 ,
即 ，令 ，则 ，
故，故到平面的距离 ，
即到平面的距离为；
(2) ,
由题意可得.

3、设在直三棱柱中，，，依次为的中点.

（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数表示）
（2）求点到平面的距离.
【解析】

（1）如图所示，以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，，
，，则；
（2），，设平面的法向量为，则有，令，解得，则，
，点到平面的距离为

4、在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角；
(3)求点到平面的距离.
【解析】(1)以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，，，，
∵，
∴
∴
∴；
(2)设平面的法向量为
，
由
令，则，
∴平面的一个法向量为
由
设直线与平面所成角为

∴直线与平面所成角为；
(3)点到平面的距离.

5、在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：连接，交于点，又，分别为和的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；

（2）直线平面，平面，所以，
由题意得，，
所以以为原点，，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，
，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，，，解得，
设直线与平面所成角的正弦值，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值；
（3）由（2），，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，，
所以平面的法向量，
则点到平面的距离，
所以到平面的距离1．


6、如图，在四棱锥中，平面，.

（1）求A到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.
【解析】(1)在四棱锥中，平面，，
以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，则，
于是得.
设为平面的一个法向量，则，令，得，
所以A到平面的距离；
(2)由(1)知，平面的一个法向量，而平面的一个法向量，
于是得，显然平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值是；
(3)因E为棱上的点，设，则，而，
又异面直线与所成的角为，则，解得，
所以的长为.

7、如图，内接于，为的直径，，，，且平面，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)求点到平面的距离．
【解析】(1)依题意是圆的直径，∴，
由于平面，∴，
以C为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

，
设是平面的法向量，
则，故可取．
，
设是平面的法向量，
则，故可取，
，∴平面平面．
(2)，
设直线与直线所成角为，
则；
(3)，平面的法向量为，
∴平面，∴到平面的距离为．

8、在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求异面直线与的距离．
【解析】以，，为，，轴建立按直角坐标系，
则各点的坐标为，，，．如图：

（1）所以，，
所以．
故异面直线和所成角的余弦值为．
（2），，设平面的法向量为．
则即，取，得．
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）连接交于点，连接，易得，
所以平面，故点到平面的距离即为所求异面直线距离．
记点到平面的距离为，则．
所以异面直线与的距离为．

9、如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.

(1)证明：；
(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】(1)证明：因为平面，平面，所以；
因为，所以；
因为，平面，所以平面；
因为平面，所以.
(2)以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.

则，，，
设，，，
因为若到直线的距离为，
即，解得.
故，，，
，，，.
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取.
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取.
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.


题组B 能力提升练
1、平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，∥，，且为的中点.

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若直线上存在点，使得直线所成角的余弦值为，求直线与平面成角的大小.
【解析】(1)中，，
由余弦定理得，，
，，
平面平面，平面平面＝，平面，
平面，.
(2)以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
∴点到平面的距离；
(3)，，，，
设点坐标，，
∵E、H、F三点共线，∴，
，∴，
∴，
解得，
，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设直线与平面成的角为，
，
∴直线与平面成的角为.

2、如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．
【解析】(1)证明：因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
(2)证明：因为平面，平面，所以，
又，所以两两互相垂直.     
如图以A为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

由，
可知，，，，，
则，， ，
设为平面的一个法向量，
则，即， 令，则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，所以，
则，
易知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
(3)由，   得，
因为，
所以与平面不平行，所以直线与平面相交，
在四边形中延长交的延长线于点.
点就是直线与平面的交点，
易知，所以.

3、如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且是的中点.

(1)求点到平面的距离；
(2)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【解析】(1)以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，
，
因为为的中点，则
因为
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为；
(2)由题意，设，其中，
则，
所以，
又是平面的一个法向量，
因为直线和平面所成角的正弦值为，
则，
整理可得，
又，解得
故线段的长为.


4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求异面直线与间的距离；
（2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离.
【解析】（1）由题意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.
以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，
∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)，
设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为，则，，
∴令x=1，则y=-，z=，即.
设异面直线AC、PB之间的距离为d，
则d===.
（2）设在侧面PAB内存在一点N(a，0，c)，使NE⊥平面PAC，
由（1）知E，
∴=，
∴,
解得,
∴，
∴N到AB的距离为，N 到AP的距离为.


5、如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.

（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
【解析】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.
证明：取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且.
四边形为平行四边形.
，又平面，平面，
平面；

（2）取中点，
因为底面为菱形，所以，
又，且，
所以平面，即.
又，即，而
所以平面.又，
所以为正三角形，即，也即
所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
所以，.
设平面的一个法向量为.
由，取，得；
取平面的一个法向量为.
由题意，，解得.
.
设点到平面的距离为，则.
即点到平面的距离为

题组C 培优拔尖练
1、【多选】如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（       ）

A．
B．存在点M，使平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），
设，则，
由M是棱SD上的动点，设，
，
，
，故A正确；
当为的中点时，是的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正确；
，
若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，
则，
化简得，方程无解，故C错误；
点M到平面ABCD的距离，
点M与平面SAB的距离，
所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；
故选：ABD

2、如图，在三棱锥，，，E，F分别为AB，SC的中点．

（1）求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线SE，BF的距离d．
【解析】（1）连接EF，EC，由题知，SE是等腰三角形SAB底边AB上的中线，
∴．
同理，．∴平面SEC，∴．
同理，平面ABF．             
作平面ABF，分别以EB，EF，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题知，，，
∴，，，，，．
设是平面ABC的法向量，则，
即，取．       
，
∴直线BF与平面ABC所成角的正弦值为．       
（2）设是异面直线SE，BF的公垂线的方向向量，
由，同（1）可求得．             
由题知，异面直线SE，BF的距离等于在方向上的投影向量的长度，即
．
∴异面直线SE，BF的距离．             

3、在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为______.
【解析】三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得
因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，.
，.
设垂直于和，所以
令，则，，所以.
又，所以异面直线与的距离.
故答案为：

4、如图，将边长为的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点.

（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）若平面，试求折痕的长；
（3）当点到平面距离最大时，求折痕的长.
【解析】（1）取中点，连接，依题意，四边形为等腰梯形，则，由题干，平面，平面，则，下以为原点，构建如图的空间直角坐标系.设，则，，，
，，故，，设平面的法向量为，则，即
取，则，故，易见平面的法向量，
故，又平面与平面的所成角是指夹角较小的角，故平面与平面所成角的余弦值为.
（2）平面，且平面，则，即，
，又，
，又，解得，故折痕
（3）连接，过作，垂足为，由，
则平面，又平面，则，又，，
故平面，即为到平面距离.又，
则，，
则，，当时取得等号，又，当时取得等号，也即时，分子取到了最大值，分母取到了最小值，此时即有最大，故折痕.