数学选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀课后作业题

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7.5 正态分布

课程标准
课标解读
1． 通过误差模型初步了解服从正态分布
的随机变量的特点.
2.并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质.
3.了解正态分布的均值、方差及含义.
4.了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.
通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题.




知识点1 正态曲线与正态分布
1．连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态的曲线的定义
我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
3．正态分布的定义
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

注：1、正态曲线f(x)＝，x∈R中的参数μ，σ有何意义？
μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.
2、若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？
若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a
知识点2　正态曲线的特点
1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.

【即学即练1】已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ .

【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.

【即学即练2】【多选】一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　)

A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选BCD

【即学即练3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
【解析】∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．

知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
【即学即练4】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
【解析】P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]≈(95.45%－68.27%)＝13.59%.故选B.



考点一 正态曲线及其性质
解题方略：
利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
【例1-1】【多选】下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　)
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
【解析】只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．故选ABD

【例1-2】【多选】已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2
C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3
【解析】由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．

变式1：如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)

A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.

变式2：若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)
A．10 B．100 C. D.
【解析】由正态分布密度曲线上的最高点为知＝，∴D(X)＝σ2＝.故选C

考点二 正态分布的概率计算
解题方略：
利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．
【例2-1】关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
【解析】∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997 3＝0.002 7，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件．故选D


【例2-2】设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
(2)P(3≤ξ≤5)．
(3)P(ξ>5)
【解析】∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
(3)P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈(1－0.954 5)＝0.022 75.

变式1：已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.

变式2：已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　　)
A．0.477 B．0.954 C．0.628 D．0.977
【解析】画出正态曲线如图所示，结合图象知，P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954.故选B



变式3：设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ 【解析】∵ξ～N(2,9)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ

变式4：已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X
【解析】∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X4－a)＝1－2P(X
变式5：已知X～N(4，σ2)，且P(2 【解析】∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.
∵P(2 ∴∴σ＝2.
∴P(|X－2|<4)＝P(－2 ＝P(－2 ＝[P(－2 ＝P(－2
变式6：设随机变量，，，则______.
【答案】
【详解】解：由于随机变量，所以概率分布关于对称，
且，
所以，解得.
故答案为：.

变式7：已知随机变量，且，则的最小值为（    ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B

考点三 正态分布的应用
解题方略：
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
【例3-1】在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名
【解析】因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500.故选A

变式1：假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为（    ）（附：若，则，，）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
【答案】D
【详解】由题意，正态分布的标准差为5，故，故在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为
故选：D

变式2：一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为(　　)
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
【解析】∵X～N(1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982∉(985,1 015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．故选C

变式3：某种包装的大米质量ξ（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米3000袋．大米质量在以上的袋数大约为（    ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【详解】因大米质量，且，则，
所以大米质量在以上的袋数大约为.
故选：C

变式4：有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
【解析】(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%.
∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．
考点四 标准正态分布
【例4-1】已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝ ，b＝ .
【解析】∵随机变量X～N(2,22)，
∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.
∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，
D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，
又a>0，∴a＝，b＝－1.

变式1：【多选】18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当n比较大时，可视为服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数，记，则（    ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率单调增大
【答案】AC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，
，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC

变式2：某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
【答案】59.9
【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
考点五 正态分布的综合应用
【例5-1】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；
(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02
9.78
10.04
9.92
10.14
10.04
9.22
10.13
9.91
9.95
10.09
9.96
9.88
10.01
9.98
9.95
10.05
10.05
9.96
10.12
经计算得，，，
其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.
【答案】(1)0.052
(2)①需对本次的生产过程进行检查； ②0.014.
【详解】（1）抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为0.9974，
从而主要成分在该区间之外的概率为0.0026，故，
X的数学期望为.
（2）①由，得估计值为，
结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在之外，
因此需对本次的生产过程进行检查.
②设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件，
则，
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为：
，
故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为0.014.

变式1：为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)4093
(3)在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由题意知样本的平均数为，
所以．
又，所以．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．
（3）对应的频率比为，即为2:3，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．
设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，
则，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2．

变式2：某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量（单位：）服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.
(2)规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.
①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）
②从该种零食中任意挑选袋，合格品的袋数为，若的数学期望大于58，求的最小值.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)该质检员的决定有道理，理由见解析
(2)①  ；②  71
(1)
因为，所以，，
所以，，
所以.
因为0.00135远小于，所以此事件应为小概率事件，
而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，说明小概率事件确实发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理.
(2)
①因为，，所以，，
由题意可知当零食质量X满足时为合格品，
所以这种零食的合格率为.
②由题意可知，
则，
则，故n的最小值为71；
[注]在第（2）问第2小问中，若写为，则，
则，故n的最小值为71.

变式3：某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
87   87   88   92   95   97   98   99   103   104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
（1）求与．
（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【答案】（1）；；（2）①；②需要进一步调试；理由见解析．
【详解】解：（1），
，
则．
（2）①因为，
所以，
则，
所以，
故．
②因为，
所以5个零件中恰有1个的内径（单位：）
不在内的概率为，
因为，所以试生产的5个零件就出现了1个不在内，
出现的频率是0.01485的十三倍多，根据原则，需要进一步调试．


题组A 基础过关练
1、如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量，，对应曲线的序号分别依次为（    ）.

A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【答案】A
【详解】由题意，得，，，
因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.

2、设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
【解析】由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.故选B

3、正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为(　　)
A．P1＝P2 B．P1P2 D．不确定
【解析】根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．故选A

4、在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为 ．
【解析】如图，易得P(0
5、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于(　　)
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ<4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.故选A


6、已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为 ．
【解析】∵X服从正态分布N(a,4)，∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.


7、已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．
【解析】∵随机变量X～N(3，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝3对称，
又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝×[1－P(2≤X≤4)]＝×(1－0.68)＝0.16.

8、某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
【答案】8
【详解】因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，
所以.
所以该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8


题组B 能力提升练
9、已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，则，
又，则，解得
故选：A

10、已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（    ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【详解】由可得，即.又，由正态分布曲线的对称性可得
故选：D

11、设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.

12、某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【答案】C
【详解】由随机变量均服从正态分布，，，
结合正态概率密度函数的图象，可得，，
即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.
故选：C.

13、某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B.
14、【多选】设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是(　　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
【解析】由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2) P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错．故选ABD

题组C 培优拔尖练
15、一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
【解析】对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5 对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，
P(X>5)＝≈0.977 25，
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．

16、对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）
A．越大，男生成绩在的概率越小
B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5
C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等
D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等
【答案】D
【详解】由题知，服从正态分布，
所以平均值为72，且和概率均为0.5，故B正确；
当越大，则成绩越分散，在固定范围的概率越小，故A正确；
因为，
所以成绩小于71.99与大于72.01的概率相等，故C正确；
因为成绩落在范围包括，且范围内概率不为0，
所以故D错误.
故选：D

17、某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（    ）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
【答案】B
【详解】解：因为，所以，，所以
所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（人）；
故选：B

18、十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．
附参考数据：≈2.63，
若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
【解析】＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元．
(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，
①P(X>μ－σ)＝0.5＋≈0.841 4，
所以μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元．
②由P(X>12.14)＝P(X>μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 3，
每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
则ξ～B(1 000，p)，其中p＝0.977 3，
所以E(ξ)＝1 000×0.977 3＝977.3.
19、某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：

(1)求图中的值；
(2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？
(3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）．
附：，，.
【答案】(1)
(2)85
(3)23
(1)
由
得
(2)
由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生.
因为，

记达到等级的最低分数为x，则，
则由，解得
所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上.
(3)
由题知，
因为
所以
故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人.

20、浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

(1)用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：；；；；；.
【答案】(1)0.38
(2)当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
(1)
由题意得：，所以，，则，，所以，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
(2)
由，解得：，所以，采用A款包装盒获得利润的数学期望，
采用B款包装盒获得利润的数学期望，
令，解得：a=，
由于，令，解得：，
令，解得：，
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
21、某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.
（2）为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y).
【答案】（1）；（2）设备M的性能等级为丙级；（3）.
【详解】（1），
，
；
（2），，
，，
，，
，
，
，
设备M的性能等级为丙级；
（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，
则，于是；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，
由题意可知Y2的分布列为：
Y2
0
1
2
P



故.
则次品总数Y的数学期望.