高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布综合训练题

7.5 正态分布 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测（理））某生态果园盛产猕猴桃，现摘取了1600个果子进行个头大小的取样调查，已知样本果实的果径（单位：cm）服从正态分布，若果径在到之间的果子占样本总数的，则样本中果径不小于的猕猴桃数目约为（    ）

A．40 B．120 C．200 D．240

【答案】C

【详解】

∵果径服从正态分布，∴其正态曲线关于直线对称，

又∵果径在到之间的果子占样本总数的，

由对称性可知样本中果径不小于的猕猴桃占样本总数的，

∴样本中果径不小于的猕猴桃约有.

故选：C.

2．（2022·江苏常州·高三期末）已知随机变量，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为随机变量，所以，

因为，，所以，即，

又

所以，即.

故选：B.

3．（2022·湖南株洲·一模）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，，已知，均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值

D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

【答案】A

由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.

故选：A

4．（2022·江苏盐城·一模）某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

5．（江苏省泰州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（    ）（参考数据：）

A．16 B．18 C．20 D．25

【答案】B

∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，

∴，

∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为.

故选：B.

6．（2022·山东莱西·高三期末）设随机变量，，，则下列结论正确的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

由，根据正态分布曲线的对称性可得，

所以

又，所以且

所以

故选：D

7．（2022·河北·武安市第一中学高三阶段练习）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为

B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为

【答案】C

若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则，解得，A对；

红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰日销售量的方差为，且，

故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，B对C错；

因为，所以，，D对.

故选：C.

8．（2022·全国·高三专题练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：

甲：；

乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；

丙：；

丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.

（参考数据：若 ，则，， ；）

其中假命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

由知，，，

对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；

对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在

内的概率，故乙是假命题；

对于丙：由知，丙正确；

对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，

，故丁是真命题.

故选：B.

二、填空题

9．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则______．

【答案】

，，

又，

，

.

故答案为：.

10．（2021·山东省实验中学高三阶段练习）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为___________.

【答案】360

解：由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，

又由，

根据正态分布曲线的对称性，可得，

所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，

故答案为：360.

11．（2021·全国全国·模拟预测）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为______．（结果四舍五入保留整数）

（附：若，则，，）

【答案】26

由题意，，则，，所以

，，

则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为26．

故答案为：26

12．（2021·全国·高二课时练习）下列命题中，正确的命题的序号为__________.

①已知随机变量服从二项分布，若，，则；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③设随机变量服从正态分布，若，则；

④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.

【答案】②③④

①，解得，①错；

②方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，②正确；

③服从正态分布，，③正确；

④，则，

由，解得，所以．④正确．

故答案为：②③④．

三、解答题

13．（2022·江苏宿迁·高三期末）为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.

（1）指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；

（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.

参考数据：，则，.

【答案】

（1）（2），0.9544

（1）由，解得，

样本中指标数不在和之间的频率为，

所以产品为次等品的概率估计值为.

（2）依题意.

所以，

所以.

14．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；

（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；

②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求的均值.

参考数据：，若，则.

【答案】

（1），；（2）①；②.

（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间

内的频率分别为，

，

，

所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78.

（2）①由题意知，，则有，

，，

②由①知，可得，

 所以Z的均值.

B应考能力

15．（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（    ）

A．756 B．748 C．782 D．764

【答案】D

【详解】

因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，

所以，即，即求，

由，得，

所以，

那么成绩落在的人数大约为.

故选：D.

16．（2022·全国·高三专题练习（理））山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布，则直径在(75，90]内的概率为（    ）

附：若，则，.

A．0.682 6 B．0.841 3

C．0.818 6 D．0.954 4

【答案】C

解：烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，

∴μ＝80，σ＝5.

所求概率P(75<X≤90)＝P(70<X≤90)－P(70<X≤75)

＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]

＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<X≤μ＋σ)]

＝×(0.954 5＋0.682 7)＝0.818 6.

故选：C

17．（2022·全国·模拟预测）某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（    ）

(附:若随机变量服从正态分布，则

A． B． C． D．

【答案】B

因为服从正态分布，所以,则

且在区间内的个数为，故可估计值约万个.

则

故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.

故选：B.

18．（2021·全国·高二单元测试）某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在（千米）到（千米）之间的概率为___________.（参考公式:随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】

由X～N（2000，102）知，则μ＝2000，σ＝10；

所以P（1970＜X＜2020）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）

＝P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）[P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）]

＝0.9974[0.9974﹣0.9544]

＝0.9759．

故答案为：0.9759．

C新素养 新题型

19．(多选)（2021·广东江门·高三阶段练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，下列结论正确的是（    ）

（参考数据：若，则，

A．

B．的取值在内的概率与在内的概率相等

C．

D．记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则

【答案】ACD

【详解】

由题可知，，，故，，故A正确；

区间和长度都为一个，但两区间并非关于对称，故的取值在内的概率与在内的概率不相等，B错；

，故，C正确；

一只口罩过滤率小于的概率为，50只口罩全小于的概率为，故，D正确.

故选：ACD

20．(多选)（2021·全国·高二课时练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（附：若，则，，）（    ）

A．

B．

C．

D．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于的数量，则

【答案】ABC

【详解】

由题意可知，，．对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，因为，，所以根据正态密度曲线的特点可知，故B正确；

对于C，因为，且，所以，故C正确；

对于D，一只医用口罩过滤率小于的概率约为，所以，故D错误．

故选：ABC．

21．(多选)（2022·全国·高三专题练习）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为）均服从正态分布，即，，的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ）

参考数据：若，则，

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

解：由正态分布，，

则，故A正确；

，故B错误；

由图可知Y分布更集中，所以，则，所以C错误；

由图可知，所以，则D正确，

故选：AD.

22．（2021·浙江丽水·高二课时练习）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布，，则峰期后移了________天，峰值下降了________%（注：正态分布的峰值计算公式为）

【答案】35    50．   

【详解】

解：（1）由题意可知，峰期后移了（天）；

（2）峰值下降了．

故答案为：35；50