高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计

复数的乘除运算 教学设计

教学目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。

教学重难点

1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；

2.难点：复数的除法运算

教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？

问题　多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？

提示　(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd

2.探索交流，解决问题

【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？

[提示]两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？

[提示]　满足．　　　

【问题3】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z的共轭复数等于什么？z是一个怎样的数？

[提示]　＝a－bi，z＝a2＋b2是一个实数．

（二）复数的乘除运算

1.复数的乘法运算

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)

＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

（3）例题讲解

【例1】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i) 【例2】计算（3−4i）（3+4i）

解：（1−2i）（3+4i）(−2+i) 解：（3−4i）（3+4i）

=(11−2i)(−2+i);     =3×3+3×4i−4×3i−4i×4i;

=−20+15i.                          =9+16

=25.

猜想：两个共轭复数相乘（a−bi）（a+bi），结果是一个怎样的数？有何计算技巧？

（a−bi）（a+bi）=

【变式】计算（12−5i）（12+5i）

=

= 

（三）、复数的除法运算

猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？

试试自己猜测，复数的除法法则：

(1+2i)÷(3+4i)

=(1+2i)×===

注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。

（1）、复数除法法则

复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同

设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，

则 ＝＝＝＋i.

复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.

（2）、典型例题

【例3】计算：（1）;(2)

解：

（1）    ===i

（2）    ===1-i

（3）、当堂检测

计算(1) i（2−i）(2+i);               （2） .

解：（1） i（2−i）(2+i)=i()=5i;

（2） ===1+3i

通过反复运算，让学生不断熟悉对复数乘除法法则的运用。

（六）、课堂小结

1、复数的乘法法则： (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i（a,b,c,d∈R）.

2、 运算律：交换律     z1·z2＝z2·z1

结合律     (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

分配律     z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

3、复数的除法法则：＝＝＋i