

高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算教学设计
展开复数的乘除运算 教学设计
教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算,培养数学运算的核心素养;
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,提升数学运算的核心素养。
教学重难点
1.重点:掌握复数的乘法和除法运算;
2.难点:复数的除法运算
教学过程
(一)新知导入
1. 创设情境,生成问题
两个实数的积、商是一个实数,那么两个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个复数的乘除运算,才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容?复数的加减运算把i看作一个字母,相当于多项式的合并同类项,那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢?
问题 多项式(a+b)(c+d)的运算结果是什么?
提示 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
2.探索交流,解决问题
【问题1】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)类比两个多项式相乘,应如何规定两个复数相乘?
[提示]两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗?
[提示] 满足.
【问题3】设z=a+bi(a,b∈R),则z的共轭复数等于什么?z
是一个怎样的数?
[提示] =a-bi,
z=a2+b2是一个实数.
(二)复数的乘除运算
1.复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1·z2=(a+bi)(c+di)
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 | z1·z2=z2·z1 |
结合律 | (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) |
乘法对加法的分配律 | z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 |
(3)例题讲解
【例1】计算(1−2i)(3+4i)(−2+i) 【例2】计算(3−4i)(3+4i)
解:(1−2i)(3+4i)(−2+i) 解:(3−4i)(3+4i)
=(11−2i)(−2+i); =3×3+3×4i−4×3i−4i×4i;
=−20+15i. =9+16
=25.
猜想:两个共轭复数相乘(a−bi)(a+bi),结果是一个怎样的数?有何计算技巧?
(a−bi)(a+bi)=
【变式】计算(12−5i)(12+5i)
=
=
(三)、复数的除法运算
猜想:实数的除法是乘法的逆运算,那么该如何定义复数的除法呢?
试试自己猜测,复数的除法法则:
(1+2i)÷(3+4i)
=(1+2i)×=
=
=
注:分母是虚数,怎样变成实数呢?类比“分母有理化”,分子分母同时乘以分母的共轭复数。
(1)、复数除法法则
复数除法的实质就是分母实数化的过程,这与实数的除法有所不同
设z1=a+bi,,z2=c+di(c+di≠0)),
则 ===+i.
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi.
(2)、典型例题
【例3】计算:(1);(2)
解:
(1) =
=
=i
(2) =
=
=1-i
(3)、当堂检测
计算(1) i(2−i)(2+i); (2) .
解:(1) i(2−i)(2+i)=i()=5i;
(2) =
=
=1+3i
通过反复运算,让学生不断熟悉对复数乘除法法则的运用。
(六)、课堂小结
1、复数的乘法法则: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).
2、 运算律:交换律 z1·z2=z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3、复数的除法法则:==+i
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