湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共14页。试卷主要包含了÷，其中x＝2，其中x＝+1，解关于x的不等式组等内容，欢迎下载使用。

湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•永州）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
2．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．
二．根与系数的关系（共1小题）
3．（2021•永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
三．解一元一次不等式组（共2小题）
4．（2023•永州）解关于x的不等式组：．
5．（2022•永州）解关于x的不等式组：．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•永州）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF的形状，并证明．

五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠　 　．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥　 　．（ 　 　）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）．

六．圆的综合题（共1小题）
8．（2022•永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD．
（1）求证：∠MBC＝∠BAC；
（2）求证：AE＝AD；
（3）若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S．

七．轴对称-最短路线问题（共1小题）
9．（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．

满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
九．扇形统计图（共1小题）
11．（2022•永州）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程
人数
A：剪纸

B：陶艺
20
C：厨艺
a
D：刺绣
20
E：养殖

请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝　 　．
（2）所抽取样本的样本容量是 　 　，频数统计表中a＝　 　．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．


湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023•永州）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2．
【答案】x+1，3．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝2时，
原式＝2+1＝3．
2．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．
【答案】x﹣1，．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x﹣1，
当x＝+1时，
原式＝+1﹣1
＝．
二．根与系数的关系（共1小题）
3．（2021•永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
【答案】（1）p＝1，q＝﹣8；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
三．解一元一次不等式组（共2小题）
4．（2023•永州）解关于x的不等式组：．
【答案】1＜x＜2．
【解答】解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1，
解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2，
所以不等式组的解集为1＜x＜2．
5．（2022•永州）解关于x的不等式组：．
【答案】x＞4．
【解答】解：
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞4．
四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2021•永州）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF的形状，并证明．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
（2）四边形DECF是平行四边形，
证明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•永州）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠　DBC　．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥　BF　．（ 　内错角相等，两直线平行　）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ 　两组对边分别平行的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）．

【答案】（1）作图见解答过程；
（2）DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）作图如下：

DE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（两直线平行，内错角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
六．圆的综合题（共1小题）
8．（2022•永州）如图，已知AB，CE是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点D在EA的延长线上，AC，OD交于点F，∠MBC＝∠ACD．
（1）求证：∠MBC＝∠BAC；
（2）求证：AE＝AD；
（3）若△OFC的面积S1＝4，求四边形AOCD的面积S．

【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）18．
【解答】（1）证明：∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BM，
∴∠ABC+∠MBC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠MBC＝∠BAC；
（2）证明：∵AO＝OC，
∴∠BAC＝∠ACE，
∵∠MBC＝∠ACD，∠MBC＝∠BAC，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EAC＝∠DAC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AEC≌△ADC（ASA），
∴AE＝AD；
（3）解：∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥DC，
∴，
∴，
∴，
∵AO∥DC，
∴△AOF∽△CDF，
∴，
∵△OFC的面积S1＝4，
∴S△AOF＝2，S△ADF＝S△OCF＝4，S△CDF＝8，
∴S四边形AOCD＝S△AOF+S△ADF+S△CDF+S△COF＝2+4+8+4＝18．
七．轴对称-最短路线问题（共1小题）
9．（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．

满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【答案】（1）方案二铺设水管的总长度更短；
（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短．
【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50×3＝150（米），
方案二：铺设水管的总长度为2＝100≈140（米），
∵140＜150，
∴方案二铺设水管的总长度更短；
（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：
如图：

∵AE＝BE，GE⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°，
同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，
在Rt△AEG中，
GE＝＝（米），AE＝＝（米），
同理FH＝米，BE＝CF＝DF＝AE＝米
∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，
∴方案中铺设水管的总长度为×4+50﹣＝50+50≈135（米），
∵135＜140＜150，
∴小明的方案中铺设水管的总长度最短．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2021•永州）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
【答案】（1）b＝2；
（2）CD的长度为8米．
【解答】解：（1）∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
（2）∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣CD）2，
∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），
∴CD的长度为8米．
九．扇形统计图（共1小题）
11．（2022•永州）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程
人数
A：剪纸

B：陶艺
20
C：厨艺
a
D：刺绣
20
E：养殖

请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝　20　．
（2）所抽取样本的样本容量是 　200　，频数统计表中a＝　50　．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．

【答案】（1）20；
（2）200，50；
（3）400人．
【解答】解：（1）m%＝1﹣35%﹣10%﹣25%﹣10%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：20；

（2）所抽取样本的样本容量是20÷10%＝200，
a＝200×25%＝50，
故答案为：200，50；

（3）2000×20%＝400（人），
答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的有400人．