湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共16页。试卷主要包含了﹣1+|﹣2|，﹣2﹣2sin60°，0﹣|﹣2|﹣tan60°，2，其中a＝﹣3，b＝等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2023•邵阳）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
2．（2022•邵阳）计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°．
3．（2021•邵阳）计算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
4．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
三．分式的化简求值（共2小题）
5．（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
（+）÷．
6．（2021•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，2，+1中选择一个合适的x的值代入求值．（1﹣）÷．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
五．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

六．正方形的判定（共1小题）
9．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．

七．切线的性质（共1小题）
10．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

八．旋转的性质（共1小题）
11．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．
（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？
​
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．
（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
14．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

一十二．中位数（共1小题）
15．（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．


湖南省邵阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2023•邵阳）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
【答案】5．
【解答】解：原式＝1+2+2
＝5．
2．（2022•邵阳）计算：（π﹣2）0+（﹣）﹣2﹣2sin60°．
【答案】5﹣．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝5﹣．
3．（2021•邵阳）计算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣）﹣
＝1﹣2+﹣
＝﹣1．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
4．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
【答案】24．
【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
三．分式的化简求值（共2小题）
5．（2022•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，中选择一个合适的x值代入求值．
（+）÷．
【答案】．
【解答】解：原式＝•
＝，
又∵x≠﹣1，0，1，
∴x可以取，此时原式＝＝．
6．（2021•邵阳）先化简，再从﹣1，0，1，2，+1中选择一个合适的x的值代入求值．（1﹣）÷．
【答案】，x取0，原式＝﹣1或x取2，原式＝1或x取，原式＝．
【解答】解：原式＝
＝，
又∵x≠±1，
∴x可以取0，此时原式＝﹣1；
x可以取2，此时原式＝1；
x可以取，此时原式＝．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，
依题意得：，
解得：．
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，
依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900，
解得：m≤70．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
五．正方形的性质（共1小题）
8．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

【答案】（1）见解析；
（2）8．
【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为平行四边形．
∵∠DOE＝90°，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为8．
六．正方形的判定（共1小题）
9．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．

【答案】证明过程见解答部分．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴平行四边形AECF是矩形，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
七．切线的性质（共1小题）
10．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

【答案】（1）30°；（2）2π．
【解答】解：（1）连接OA，

∵AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠BAO＝90°，
又∵AB＝AC，OA＝OC，
∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，
设∠ACB＝x°，则在△ABC中，
x°+x°+x°+90°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠ACB的度数为30°；
（2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝2π．
八．旋转的性质（共1小题）
11．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．
（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？
​
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，
∴PA＝QA，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，
∴∠AQP＝∠AED，
∴点A，点P，点E，点Q四点共圆，
∴∠PAQ+∠PEQ＝180°，
∴∠PEQ＝120°；
（2）解：如图，

根据题意：只有当∠AFQ＝90°时，成立，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，
∵∠AFQ＝90°，
∴∠PAF＝∠QAF＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADP＝∠ABC＝60°，
∴∠DAP＝30°，∠APD＝90°，
∴tan∠ADP＝tan60°＝＝．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

【答案】（1）见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝3．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．
（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）

【答案】火箭从A处到B处的平均速度294m/s．
【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m，
则PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m），
AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m），
∴OQ＝AO＝4600m，
∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m），
则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s），
答：火箭从A处到B处的平均速度294m/s．

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
14．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

【答案】安全，理由见解答．
【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
一十二．中位数（共1小题）
15．（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t＜1
5
0.05
1≤t＜2
20
0.20
2≤t＜3
a
0.35
3≤t＜4
25
m
4≤t≤5
15
0.15
（1）求统计表中a，m的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．

【答案】（1）35、0.25；（2）甲同学的周学习时间在2≤t＜3范围内；（3）800．
【解答】解：（1）∵样本容量为5÷0.05＝100，
∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；
（2）∵一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在2≤t＜3范围内，
∴甲同学的周学习时间在2≤t＜3范围内；
（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为2000×（0.25+0.15）＝800（人）．