湖北省宜昌市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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湖北省宜昌市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2021•宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
三．圆的综合题（共1小题）
3．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

四．作图—基本作图（共1小题）
4．（2021•宜昌）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　 　，射线AE是∠DAC的 　 　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

五．作图-旋转变换（共1小题）
5．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 　 　．

六．解直角三角形的应用（共1小题）
6．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）

（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．
七．频数（率）分布表（共1小题）
7．（2022•宜昌）某校为响应“传承屈原文化•弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
组中值
　 　
75
105
135
频数/人
6
20
　 　
4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120～150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 　 　；a＝　 　；样本数据的中位数位于 　 　～　 　分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．

八．列表法与树状图法（共1小题）
8．（2023•宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8
（1）本次抽查的学生人数是 　 　，统计表中的m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　 　；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．


湖北省宜昌市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②m＝10．
【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；
由题意可得：10x+12×2x＝136，
解得：x＝4，
∴2x＝8（元），
答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得：，
解得：，
答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得：m＝19或m＝10，
∵m＜（40﹣m），
∴m＜，
∴m＝10．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
2．（2021•宜昌）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）100吨，10000吨，3000吨，2000吨．
（2）m＝20．
（3）节省水费大于两项投入之和．
【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（1﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）+100×（1+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1﹣m%），
解得m＝0（舍），或m＝20，
∴m＝20．
（3）节省水费：15000×m%×2.5＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，
13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
三．圆的综合题（共1小题）
3．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

【答案】（1）见解答过程，（2）①，②．
【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．

（2）①如图2，

∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．

四．作图—基本作图（共1小题）
4．（2021•宜昌）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　垂直平分线　，射线AE是∠DAC的 　角平分线　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【答案】（1）垂直平分线，角平分线．
（2）25°．
【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝25°．
五．作图-旋转变换（共1小题）
5．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 　45°　．

【答案】（1）（2）见解答；
（3）45°．
【解答】解：（1）如图，OB为所作；
（2）如图，△COB为所作；

（3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB＝∠OAB＝45°．
故答案为：45°．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
6．（2023•宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14）

（1）求cosα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求的长（结果取整数）．
【答案】（1）0.95；
（2）2010km．
【解答】解：（1）由题意知FQ是⊙O的切线，
∴∠OQF＝90°，
∵OP＝OQ＝6400km，FP＝330km，
∴OF＝OP+FP＝6730km，
∴cosα＝；
（2）∵cosα≈0.95，
∴α＝18°，
∴的长为：≈2010km．
七．频数（率）分布表（共1小题）
7．（2022•宜昌）某校为响应“传承屈原文化•弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
组中值
　45　
75
105
135
频数/人
6
20
　10　
4
数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120～150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是 　36°　；a＝　25　；样本数据的中位数位于 　60　～　90　分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．

【答案】（1）36°，25，60，90；
（2）45，10；
（3）84分钟．
【解答】解：（1）120～150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是：360°×10%＝36°，
本次调查的学生有：4÷10%＝40（人），
a%＝×100%＝25%，
∴a的值是25，
∴中位数位于60～90分钟时间段，
故答案为：36°，25，60，90；
（2）∵一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值
∴30≤x＜60时间段的组中值为（30+60）÷2＝45，
90≤x＜120时间段的频数为：40﹣6﹣20﹣4＝10，
故答案为：45，10；
（3）＝84（分钟），
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟．
八．列表法与树状图法（共1小题）
8．（2023•宜昌）“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8
（1）本次抽查的学生人数是 　80　，统计表中的m＝　32　；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是 　72°　；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．

【答案】（1）80，32；
（2）72°；
（3）估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数约为120人；
（4）．
【解答】解：（1）24÷30%＝80（人），80﹣24﹣16﹣8＝32（人），答：本次抽查的学生人数是80人，统计表中的m＝32；
故答案为：80，32；
（2）“C漫画类”对应的圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）1200×＝120（人），
答：估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数约为120人；
（4）列树状图如图所示，

由上可得，一共有16种等可能性，其中他们选择同一社团的可能性有4种，
∴他们选择同一社团的概率为＝．