人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题

第二章2.5.2　圆与圆的位置关系

A级  必备知识基础练

1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　)

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

2.(多选题)圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值可以为(　　)

A.2 B.-5 C.-2 D.5

3.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A.x+y+3=0 B.x-y+2=0

C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0

4.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是 (　　)

A.-16 B.-9 C.11 D.12

5.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为 (　　)

A.2 B. C. D.

6.已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3) D.[1,3]

7.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　)

A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0

B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0

C.公共弦AB的长为

D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB的距离的最大值为+1

8.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　. 

B级  关键能力提升练

9.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆O:x2+y2=上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　)

A.2 B. C.3 D.4

10.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　. 

11.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.

(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径.

(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由.

参考答案

2.5.2　圆与圆的位置关系

1.B　圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.

圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.

∵|O1O2|=,∴R2-R1<|O1O2|<R2+R1,

∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是相交.

2.AB　圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有=3+2,

即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.

3.C　AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.

4.AD　化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.

要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,即5>+1或5<-1,解得-25<k<-9或k>11.

∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).

满足这一范围的有A和D.

5.B　由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.

圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.

∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,

∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤2=,当且仅当a=b=时,等号成立.故选B.

6.A　由PM⊥PN得,点P在以MN为直径的圆上(不同于M,N),以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4.

由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0),所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.

7.ABD　对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-y=0,故A正确;

对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),又kAB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1,即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;

对于C,圆O1:x2+y2-2x=0,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d=,半径r=1,所以|AB|=2,故C不正确;

对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.

8.外切　∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.

又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则|C1C2|==2,∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.

9.D　∵P(t,t-1),

∴P点在直线y=x-1上.作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=关于直线y=x-1对称的圆O1方程为(x-1)2+(y+1)2=,∴E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=的圆心为O2,

∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,

∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时,等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.

10.2x+y-1=0　　圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,,半径为r=.

可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,

两圆的方程相减可得直线AB的方程为2x+y-1=0.

因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+.

又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,所以直线AB过定点.

11.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,两圆的圆心距为|a-1|=r,因为两圆外切,所以r=r+9,所以r=+1.

(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),

①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线.

②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),

则d==r=对任意的a都成立,,两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合,

当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,

故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.