高中人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质当堂检测题

【优编】2.5.2 椭圆的几何性质作业练习

一．填空题

1．已知椭圆的长轴长是矩轴长的倍，则该椭圆的离心率为______.

2．椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是_____.

3．设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为______________.

4．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于______________．

5．已知点是椭圆的右焦点，是这个椭圆上的点，是一个定点，则的最小值是_____．

6．椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是__________．

7．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2，离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为________．

8．已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.

9．已知椭圆的两个焦点为．，点P在此圆上，且，则的面积为________.

10．已知椭圆的左．右焦点分别为．，若椭圆上的点满足，则的大小为______.

11．若点是椭圆：上的动点，则点到直线的距离的最小值是_______，此时，的坐标为_______.

12．已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.

13．已知圆（），点是该椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，则的最小值等于________.

14．已知椭圆的两个焦点为．，为椭圆上一动点，若是以点为圆心，1为半径的圆的一条直径，则的取值范围是______.

15．已知椭圆的左．右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A．B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】题意得，结合，得出．

详解：由题意，所以，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求椭圆离心率，掌握关系式是解题关键．

2．【答案】

【解析】根据点关于直线的对称点在椭圆上，找出几何关系，列方程组求解，即可求得答案.

详解：设椭圆另一焦点为，线段与直线交点为

设，，分别为的中点，

，

又

，整得，

代入，

整理得：，

，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的离心率问题，解题关键是利用对称性找到几何关系，关键发现，抓住椭圆定义，斜率公式及直角三角形列出方程组，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是列式化简.

详解：设，，，

，

化简整理得，，

所以点的轨迹方程为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了直接法求动点的轨迹方程，注意去掉不满足题意的点，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据椭圆的定义，得到，结合已知条件即可计算出的值.

详解：因为，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的定义的简单应用，难度较易.注意：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度.

5．【答案】

【解析】由题意，可得椭圆的离心率，又椭圆的第二定义，可得答案.

详解：依题意可知，，

因为椭圆的离心率，

过M作右准线的垂线交于点K，距离为d．

又椭圆的第二定义，

A到准线的距离

所以的最小值是．

【点睛】

本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的第二定义，属于中档题.

6．【答案】

【解析】根据椭圆的焦点位置，得到的取值范围，将离心率表示为的函数，求该函数在区间上的值域即可.

详解：因为椭圆的焦点在轴上，故可得，

解得.

又，

又对勾函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又时，；时，；时，，

故，则，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆离心率范围的求解，涉及由椭圆焦点所在位置求参数范围的问题，以及利用对勾函数的单调性求函数值域的问题，属综合中档题.

7．【答案】

【解析】由题得，求出a的值，再根据离心率求出c和b的值，即得椭圆的方程.

详解：由椭圆的定义可得，

又因为

所以，解得，

又因为，所以，

所以，

所以椭圆方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义．椭圆的简单几何性质和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．【答案】

【解析】详解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上．

设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a

又∵|BF|=|A|   ∴|AF|+|BF|=2a  ①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα   ②

|BF|=2ccosα    ③

将②③代入①  2csinα+2ccosα=2a

∴，即，

∵，

∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为

9．【答案】8

【解析】由问题出发，欲求的面积，则只要求出的值即可，由椭圆的定义得式子，再将其平方后结合条件，即可求得本题结果.

详解：由题意可知：，

， ——①

又，——②

联立①②解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆定义的综合应用，涉及求，时，常将椭圆的定义式两边左右平方，再在中，结合勾股定理或余弦定理，来求解.

10．【答案】

【解析】结合已知条件，利用椭圆的定义求，利用勾股定理判断出的大小.

详解：依题意椭圆的.

所以，解得，

所以，

所以三角形是直角三角形，且.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.

11．【答案】   

【解析】设直线，联立方程，整理得，计算得到答案.

详解：设直线，联立，整理得.

则，解得.

当时，直线与直线之间的距离，

即点到直线的最小距离是.

此时，解得，将代入，得，则点的坐标为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了椭圆中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．【答案】   

【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理．面积即可求解出的值；再根据以及椭圆中的取值范围即可求解出的范围.

详解：因为，所以，

又因为，所以，所以，

又因为，所以；

又因为，设且，

所以，所以，

所以，所以，

又因为且，所以，

所以.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆上任意一点（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于.

13．【答案】

【解析】根据点在椭圆面内得到之间的关系，利用二次函数配方法，然后求出的最小值.

详解：点是椭圆面（包括椭圆及内部）上任意一点，

，

当且仅当时，取最小值.

故答案为：

【点睛】

本题考查点与椭圆的位置关系，函数最值的应用，考查求解运算能力及转化思想.

14．【答案】.

【解析】由向量的线性运算可得，结合椭圆的定义可得，然后由椭圆的几何性质可得，再结合二次函数值域的求法即可得解.

详解：解：由已知条件可得且 ,

则,

同理，

则,

由椭圆的定义可得，

则,

由椭圆的几何性质可得，

即，

即的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，重点考查了椭圆的定义及几何性质，属中档题.

15．【答案】

【解析】由题意先求得点坐标,并设,由求得点坐标,即可代入椭圆方程,再利用求解即可.

详解：由椭圆焦点在轴上,设椭圆的左．右焦点分别为,,由,代入椭圆方程可得,

则可设,,所以,,

由,所以,解得,

将点的坐标代入椭圆方程可得,即,

因为,所以,即,

所以,则,

故答案为:

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率,考查向量的坐标表示,考查运算能力.