高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(含解析)

§1.4　空间向量的应用

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示

学习目标　理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．

知识点一　空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．

知识点二　空间中直线的向量表示式

直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

＝＋ta，①

把＝a代入①式得

＝＋t，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

思考　直线的方向向量是不是唯一的？

答案　直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．

知识点三　空间中平面的向量表示式

1．平面ABC的向量表示式

空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．

2．平面的法向量

如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．

思考　平面的法向量是不是唯一的？

答案　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．

1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(　√　)

2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(　×　)

3．直线的方向向量是唯一的．(　×　)

一、直线的方向向量

例1　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　)

A．0  B．1  C.  D．3

答案　A

解析　∵A(0，y，3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3),

∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设＝km.

∴－1＝2k ,2－y＝－k，z－3＝3k.

解得 k＝－，y＝z＝.

∴y－z＝0.

(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．

答案　(不唯一)(0,0,1)　 (0,1,1)

解析　∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；

BC1∥AD1， ＝(0，1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．

反思感悟　理解直线方向向量的概念

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．

(2)直线的方向向量不唯一．

跟踪训练1　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)

A．(2,2,6)   B．(1,1,3)

C．(3,1,1)   D．(－3,0,1)

答案　AB

解析　∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，

故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．

(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　)

A．(18,17，－17)   B. (－14，－19,17)

C.   D.

答案　A

解析　设B点坐标为 (x，y，z) ，则 ＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12) ，因为||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.

二、求平面的法向量

例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)，

于是＝.＝(1，，0)．

设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即所以

令y＝－1，则x＝z＝.

所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．

延伸探究

本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？

解　如图所示，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量．

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．

因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．

由即

所以令y＝1，则z＝.

所以平面PCD的一个法向量为(0,1，)．

反思感悟　求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；

(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(3)联立方程组并求解；

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．

跟踪训练2　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．

解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．

∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，

∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．

则有即

解得令z＝1，则x＝y＝3.

故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．

1．若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A．(1,2,3)   B．(1,3,2)

C．(2,1,3)   D．(3,2,1)

答案　A

解析　因为＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．

2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　)

A．6和－10   B．－6和10

C．－6和－10   D．6和10

答案　A

解析　由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10.

3．若n＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)

A．(0，－3,1)   B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)   D．(－2,3，－1)

答案　D

解析　求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．

4．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　BC

5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．

答案　x＋2y－3z＝0

解析　由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，

故x＋2y－3z＝0.

1．知识清单：

(1)直线的方向向量．

(2)平面的法向量．

2．方法归纳：待定系数法．

3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．

1．已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)

A．－1   B．1或－1

C．－3   D．1

答案　A

解析　由题意得a∥b，所以解得x＝－1.

2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)

A. (4,2，－2)   B. (2,0,4)

C. (2，－1，－5)   D. (4，－2，－2)

答案　D

解析　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，

又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.

3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)

A.⊥   B.⊥

C.⊥   D.⊥

答案　C

解析　∵PA⊥平面ABCD，

∴BD⊥PA.

又AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，

∴PC⊥BD.

故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.

4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)

A．(1,1，－1)   B．(1，－1,1)

C．(－1,1,1)   D．(－1，－1，－1)

答案　D

解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有

取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.

故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．

5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)

答案　AC

解析　∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，

∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；

∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，

∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；

∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，

∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；

∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，

∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．

6．已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为________．

答案　(2,1,0)(答案不唯一)

解析　＝(1，－2,0)，＝(2，－4,2)，

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则

令y＝1，得x＝2，z＝0，

故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．

7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．

答案　或

解析　由OP⊥OQ，得·＝0，

即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.

∴cos x＝0或cos x＝.

∵x∈[0，π]，

∴x＝或x＝.

8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．

其中正确的是________．(填序号)

答案　①②③

解析　＝＝(0,0,1)，故①正确；＝＝(0,1,1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，故③正确；向量的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．

9．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, －2)．

(1)写出直线BC的一个方向向量；

(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．

解　(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，

∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．

(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，

∵⊥平面α，AM⊂α，

∴⊥，

∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.

∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．

证明　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，＝，

＝，＝(－1,0,0)．

∵·＝·＝－＝0，

又·＝0，

∴⊥，⊥.

又A1D1∩D1F＝D1，

∴AE⊥平面A1D1F，

∴是平面A1D1F的法向量．

11．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面(　　)

A．xOy平行   B．xOz平行

C．yOz平行   D．yOz相交

答案　C

解析　因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，

所以AB∥平面yOz.

12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．(1，－1,1)   B.

C.   D.

答案　B

解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.

13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　)

A．(1，－4,2)   B.

C.   D．(0，－1,1)

答案　D

解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.

14．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.

答案　2∶3∶(－4)

解析　由已知得，＝，

＝，

∵a是平面α的一个法向量，

∴a·＝0，a·＝0，

即解得

∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．

15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)

答案　①②③

解析　∵·＝0，·＝0，

∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．

又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，

则③正确，由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．

16.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．

解　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，

则＝，＝.

向量＝是平面SAB的一个法向量．

设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，

则即

取x＝2，得y＝－1，z＝1，

故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．