第一章 空间向量与立体几何（单元复习课件）-【大单元教学】高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第一册）

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第一章 空间向量与立体几何（单元复习）目录/CONTENTS题型突破核心归纳知识导图高频考点知识导图1．空间向量的有关概念核心归纳2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)空间位置关系的向量表示【例1】如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.题型一：应用空间向量证明位置关系证明 (1)如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分别为AB,PC的中点,巧用空间向量证明空间中的位置关系(1)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②可在平面内找到一个向量，证明其与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(2)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题．(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(4)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．【变式1-1】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.(方法3)如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(1,0,0),D(-1,1,0),【例2】如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.题型二：应用空间向量求空间距离解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).由题意得AEC1F为平行四边形,向量法求点面距离的步骤 【变式2-1】在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点.(1)求证:AD∥平面A1EFD1;(2)求直线AD与平面A1EFD1的距离.(1)证明 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),所以所以DA∥D1A1.又D1A1⊂平面A1EFD1,DA⊄平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.【变式2-2】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)求证：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．（1）∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD．以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图.【点评】本题考查线面平行的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识以及推理能力与计算能力，属于中档题．【例3】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求异面直线A1D与AM所成的角;(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值.题型三：应用空间向量求空间角 解 以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).【变式3-3】在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中点.(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值;(2)若点F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求点F的坐标;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解 (1)如图所示建立空间直角坐标系Dxyz.由题意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E为PB的中点,∴E(1,1,1),题型四：空间中的折叠与探究性问题 【例4-2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求平面ADC1与平面ABC夹角的余弦值.(3)线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明 连接A1C,交AC1于点O,连接OD,如图.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解 由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.(3)解 存在.假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),解决存在性问题的基本策略假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.【变式4-2】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)求证:PD⊥PB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.(1)证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解 如图,取AD中点为O,连接CO,PO.∵CD=AC= ,∴CO⊥AD.∵PA=PD,∴PO⊥AD.以O为坐标原点,OC,OA,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),